Математическое просвещение

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛ. КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧ. И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВН. 29 Р я д bx + b2+b3 + . . . + & * + . . . , (12) где &1 = 1Л>1, Ь2 = \АЦМ, b3 = 2\Al\MN, . . . , . _ (fc+l)(ft + 2 ) ( f t + 8 ) . • • (2к-2) [Ab]N* - 2M ok— i - 2 - з . . . (fc — l ) l ^ o M v т, . . . будет усиливающий по отношению к ряду, составленному из абсолютных значений членов ряда (10), т. е. к ряду: Применяя к ряду (12) признак сходимости Даламбера, получим: Km ^ ± 1 = lim 2J^l\A0N\=4\A0N\t Ряд (12) будет сходящийся, если H0N | < ~ . При этом условии ряд (10) будет абсолютно сходящимся. Так как | Д,[ можно сде­лать сколь угодно малым, то указанное соотношение легко мо­жет быть достигнуто. Из абсолютной сходимости ряда (10) (при | A , N | < x ) следует: | O n + 1 + Оп + 2 + Я п + З + • - • | < е» где е — сколь угодно малое положительное число. Следовательно, lim [х — а — а1—а8— . . . — а „ | = 0, п—>оо ИЛИ х = а + а1+ а2+ . . . + Й П+ • • • (13) 00 Как бы мы ни сужали промежуток /?2), сумма а + 2 аг ПРИ некотором добавочном ограничении, которое мы наложим на I AQl, не выйдет из промежутка. Из соотношения frfe + i _ 2(2fc—1) , , N] rm где bh, Ьк+г—члены ряда (12), имеем, полагая \A0N\ = y: h<4vbi, Ь3<(4г))*ЬиЬ1<(4г)УЬи . . . , bh + 1< 4rfoh<(4ij)hbv. . . Так как . , то ОО 00 | 2 flil< 2 bi<\A0\(\+4r] + (4r))2 + (bl)3+ • • ^ = \Ao\r=Tn' i = i i - i = i ' Т а к как A < f l< / ? 2 . то при ОО | 2 аг\<\а — р\, г =1