Математическое просвещение

ДВА ПРИМЕРА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 29 Э т о т интеграл, к а к ф у н к ц и ю с, обозначим F(a) и попытаемся с о с т а в и т ь ф у н к ц и о н а л ь н о е у р а в н е н и е , к о т о р о м у эта функция у д о в л е т в о р я е т . З а м е т и м с р а з у , ч т о f(^t) = Q-В о с п о л ь з у е м с я д л я с о с т а в л е н и я у р а в н е н и я известным соот­ношением г) : sin а л J l + х J l+x о о И з э т о г о с о о т н о ш е н и я и из р а в е н с т в а 1 _ получаем: • — ~ - = 2 / _ , _ 2 dx= I - , du = F (—), 4 ' sin an J l — x2 ^7 1 — и \ 2 г и а 1 1 _ 1 _.. .а—1 v— а + 1 „ 2 „2 О О 1 F(д) _ » = 2 /' ХЛ ~ \ dx = FI а-±±). х ' sin an J \ — х2 \ 2 / о П о л а г а я з д е с ь F (а) — п\(па) и заменяя па ч е р е з z, получим д в а функциональных у р а в н е н и я , к о т о р ы м у д о в л е т в о р я е т функ­ция / ( 2 ) : / с о + ^ = / ( ! ) . (3) /«-иг-/^)- № Е д и н с т в е н н о с т ь функции, у д о в л е т в о р я ю щ е й этим условиям и т а к о й , что / = 0, д о к а з ы в а е т с я подобно тому, к а к э т о было с д е л а н о в предыдущем примере. Ч т о ж е касается р е ш е н и я , т о оно непосредственно о т к р ы в а е т с я путем сравнения с ф о р м у л о й • Z 1 4 - COS Z 1 . , ctg — = «—Ц = —. \- ctg г. ъ 2 sinz sinz 1 fe П о с л е д н я я п о к а з ы в а е т , что ф у н к ц и я / ( z ) = ctgz у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю (3). П р о в е р к а показывает, ч т о она у д о в л е т в о р я е т и уравнению (4). Кроме т о г о , / ^ J= 0 . П о э т о м у F (а) = nf (па) = п ctg nz б у д е т решением поставленной задачи. г) См., например, В а л л е - П у с с е н , Курс анализа, т. I I , ГТТИ, 1933, стр. 174