Тригонометрические уравнения и методика их преподавания

При этом способе сразу получились только те решения которые удовлетворяют уравнению. Но, конечно, этот способ удалось использовать только благодаря тому, что все коэ-фициенты данного уравнения равны 1. Далее приведем более общий прием. С п о с о б Л Н . s i n x + s i n ( 9 0 ° — х ) = 1, 2 sin 45° • cos (х — 4 5 ° ) = 1, cos(x— 45°) = - ^ , V 2 решения те же. Замечания. Можно на числах показать те лишние корни, которые получились при решении примера 2 способом 1— возведение в квадрат обеих частей ур-ия. В самом деле: при способе 1 получены решения:-90% 270°, 450°, 550°, 810° и т. д., затем 0°, 360°, 720°, 1080° и т. д; при способе I I и III получены: 90°, 450°, 810° и т. д., затем 0°, 360°, 720°, 1080' и т. д. Сравнивая, видим, что лишние решения, полученные при первом способе,это 270°, 560е и т. д. при к — \, 3, б и т . д . П р и м е р 3. Приведем еще один пример, который содержит функции синуса, косинуса в 1-Й степени. Решим возведением обеих его частей в квадрат: sinx + cosx + sin 2 х = 1 *, (sin х + cos xf = (1 — sin 2 x)2 1 + s i n 2 x = 1—2sin2x + sin22x, s l n22 x — 3 s i n 2 x = 0, sin2x(sin2x—3) = 0. а) sin2x = 0; б) sln2x = 3 (нет решения). 2x = тп, где m число четное и нечетное; П р о в е р к а : 2x = 2for; 2 х = (2к + 1)гс, 1) sin кп + cos кп + sin 2кп — = 0 ± 1 + 0 = ± 1; значения неизвестного удовлетворяют ура­внению при к четном (включая к = 0), т. е. при т, кратном числу 4 и равном 0. 2) sin(2A + 1 ) ^ + cos(2/с + 1 ) + sin(2* + l)n = = ± 1 + 0 + 0 = + ! . * Полезно запомнить: sin 2 х = (sin х + cos x )2 — 1. 31