О некоторых новых результатах дескриптивной теории функций

Множества этого семейства мы будем называть множества­ми 1-го рода или множествами со свободными операциями. Простейшим примером множества со свободными опера­циями является, например, множество Е, определенное формулой •Е=<й + ^ + + ••• ОД + • • • Is где £'л и $"% суть конституанты двух произвольно заданных решетами Г1 л Г" аналитических дополнений £ ' и A priori неясно, какой природы множество Е и может ли здесь трансфинитное быть исключено. Мы в следующем параграфе увидим, что есть проективное множество и типа не сложнее А? (т. е. разности двух аналитических множеств). Второе семейство состоит из множеств Е, определяемых трансфинитным числом операций, с у щ е с т в е н н о зави­с я щ и х о д н а от д р у г о й . Самые операции, определяю­щие множество Д и в этом случае занумерованы транс­финитными числами второго класса, но на этот раз уже существенно зависят одна от другой. Множества этого семейства мы будем называть множествами 2-го рода или множествами со связанными операциями. Множества 2-го рода, вероятно, совсем не допускают исключения трансфинитного в противоположность множе­ствам 1-го рода. Они, повидимому, не могут быть ни проек­тивными, ни, просто, выразимыми без помощи совокупности всех трансфинитных чисел второго класса. Короче говоря, множества 2-го рода определяются существеннейшим образом трансфинитной индукцией, преследующей по всем трансфи­нитным числам второго класса, и, вероятно, не могущей быть сведенной ни на о б ы ч н у ю арифметическую индукцию, идущей только по натуральным числам, ни на у с е ч е н н у ю трансфинитную индукцию, т. е. идущую хотя и по транс-фивитам, но' лишь только до некоторого трансфинитного числа известного нам или неизвестного. Первый пример множества, которое, повидимому, есть истинное множество 2-го рода, не допускающее исключение трансфинитного, дан Н. Lebesgue'oM в его знаменитом ме-муаре Sur les fonctions representables analytiquement {Jour­nal des mathematiques. 1905). Там знаменитый автор, задав­шис...