Современная математика

32 воречие л о г и к е Аристотеля: т е р ц и о н а л ь н о е с о с т о я н и е р к а к о г о -л и б о п р е д л о ж е н и я р влечет его л о ж н о с т ь с о р. Так к а к т е р ц и о ­нальное с о с т о я н и е при известных у с л о в и я х все-таки, как б у д т о , имеет место (мы у ж е у к а з ы в а л и на случаи предложения о с у ­ществовании параллельной прямой при сохранении остальных аксиом геометрии Э в к л и д а ) , хотя о н о и д о л ж н о с о п р о в о ж д а т ь с я , в случае замены т е р ц и о н а л ь н о г о состояния положительным и л и отрицательным предложением, изменением смысла всех т е р м и ­нов — н е о б х о д и м о п о д о ж д а т ь д а л ь н е й ш е г о выяснения з н а ч е н и я р е з у л ь т а т о в Б а р з э н а и Э р р е р а . Л и ч н о мне к а ж е т с я , ч т о мнение Адамара о н е о б х о д и м о с т и п р е к р а щ е н и я бесполезных и не могущих ничего в ы я с н и т ь с п о р о в — в п о л н е с п р а в е д л и в о . Н е о б х о д и м о в самом деле п о д о ­ж д а т ь новых фактов, к а с а ю щ и х с я в о з м о ж н о с т и полной а р и ф м е -т и з а ц и и к о н т и н у у м а . И з всех т е з и с о в Б р а у э р а и Вейля самым интересным является у т в е р ж д е н и е , что континуум не есть мно­жество точек. Э т а идея в и с т о р и и мысли не п р е д с т а в л я е т первой новизны: она восходит е щ е к А к в и н а т у , дабы не ц и т и ­ровать д р е в н и х . П р и т о м , д о появления р а б о т Кантора, с к о т о ­рого начинается перевод всех основных п о н я т и й м а т е м а т и к и на язык м н о ж е с т в , б о л ь ш и н с т в о м а т е м а т и к о в , чтобы не с к а з а т ь все, именно и мыслили континуум к а к ч и с т у ю бесточечную п р о ­тяженность. И е щ е после Кантора А. П у а н к а р е , о б с у ж д а я смысл теоремы К а н т о р а о т о м , ч т о континуум имеет м о щ н о с т ь высшую с ч е т н о й , усумннлся в т о м , имеет ли он в о о б щ е ...