Парадоксы бесконечного

24 его п е р в ы м ъ среди п а р а д о к с о в ъ , появляющихся въ области математики, такъ какъ раньше рассмотренный парадоксъ относится къ более общей науке, чемъ наука о величинахъ. *Если каждое числом можно сказать, «по самому гюнят1ю о «числе, есть лишь простое конечное множество, то какимъ образомъ «можетъ быть безконечнымъ множество в с е х ъ чиселъ? Когда мы «разсматриваемъ рядъ натуральныхъ чиселъ «то мы замечаемъ, что множество чиселът которое содержитъ этотъ «рядъ, начиная съ перваго (единицы), до какого-нибудь д р у г о е на-«примеръ, до числа б, выражается всегда этимъ последнимъ чис-«ломъ. Поэтому множество в с е х ъ чиселъ должно быть именно «такъ велико, какъ п о с л е д н е е изъ нихъ и, следовательно, само «должно быть числомъ, а не безконечностью». Обманчивость этого вывода исчезаешь тотчасъ-же, какъ только мы вспомнимъ. что во множестве всехъ чиселъ въ натуральномъ ряду н е т ъ п о с л е д н я г о числа, что такимъ образомъ понят!е о последнемъ (высшемъ) числе — понят1е безпредметное, потому что содержитъ противореч1е. Ибо, по з а к о н у о б р а з о в а н ! я этого ряда, данномъ въ определена его (§ 8), каждый членъ ряда имеетъ п о с л е д у ю щ и й , Однимъ этимъ замечашемъ разрешается уже этотъ парадоксъ. Если множество чиселъ (и именно такъ называемыхъ целыхъ чиселъ) безконечно. то темъ более б е з к о н е ч н о множество ве­личинъ (по определешю приведенному въ § 6 и въ «Wissenschafts-lehre» въ § 87). Въ самомъ деле, по этому определешю не толъвгп^ все числа будутъ также и величинами, но имеется гораздо больше нетъ противореч1я въ томъ, чтобы говорить о ^ б;ёз к о н е ч н о б о л ь ш и х ъ и б е з к о н е ч н о м а л ы х ъ величи^ахъ, если подъ б е з к о н е ч н о б о л ь ш о й величиной подразумевается лишь такая величина, которая при разъ положенной въ ~основан1е единице яв­ляется целымъ, по отношению къ которомулкаждое конечное мно-J, 2, 3, 4, 5, 6 § 16.