Непрерывность и иррациональные числа

hi ждое число ctj меныпэ каждого числа а7 * ) , то существует вполне определенное число а, которым производится это сечение (ЗСц 3ta) системы 91 и которое я буду называть верх­ним пределом переменной величины х, остающейся всегда ко­нечною. Н о характером изменений переменной х порождается также другое сеченне (58ц ЭЗИ) системы 9 t : число р, (например, л — £) заключается в ЭЗП если впродолжение нропесса окон­чательно x > p , j всякое другое число р2, подлежащее вклю­чению в имеет то свойство, что х никогда окончательно не становится > так что случай * < [ 32 будет наступать еще бесчисленное множество р а з . Число р, производящее это сечение, пусть называется нижним пределом перемен­ной х. Оба числа a, £i очевидно характеризуются следующим свойством: если е есть произвольно малая положительная величина, то всегда будет окончательно х<^<х-\-е и я > р — в но никогда не будет окончательно х < а — а и x > f t - ] - e . Теперь возможны два случая, Коли а и р отличны друг от друга, то необходимо я;>|3, ибо всегда ^ > pt; переменная величина х колеблется и, как бы далеко процесс ни пошел, она все еще претерпевает изменения, значения которых превосходят —f t ) — 2 t , где е означает произвольно малую положительную величину. Первоначальная гипотеза, к ко­торой я теперь только возвращаюсь, находится в противо­речии с этим выводом; остается, повтому, только второй случай а— - п так как у ж е доказано, что как бы мала ни была положительная величина £, окончательно будет всегда в и я > р — е, то х приближается к пределу а, что и требовалось доказать-Удовольствуемся втими примерами в изложении связи между принципом непрерывности и анализом бесконечных. *) Потому что после того, как величина х окончательно отаяа <^tfS l она еще больше, илгт сделается еще больше, чем Примеч. переводчика.