Исследования о непрерывных дробях

Отсюда заключаем, что подходящие дроби нечетного порядка идут уменьшаясь, никогда не становясь меньше какой-либо под­ходящей дроби четного порядка; подходящие дроби четного порядка идут увеличиваясь, никогда не превосходя какую-либо подходящую дробь нечетного порядка. Таким образом, подходя­щие дроби нечетного порядка стремятся всегда к некоторому конечному пределу и точно так же обстоит дело с подходя­щими дробями четного порядка: Qm+\ l i m - - ^ = L Qm И Lx> L. Если возрастающее количество Qn-i Qn растет беспредельно, то если, наоборот, Qn-\Qn стремится к некоторому пределу I, то Но легко заметить, что Q2 N > 1 и, следовательно: Qzn+i = а-т+л (?2л+ Qm—1 > Qzn—\ + Я2л-! i, откуда Q*n+i >а1 + ап + . +«2/i+i. Затем заключаем, что Q2n = а2п Qzn—i + Qin—i > Qin—ч + axa2n, откуда Q2n > аг (а2 + а4+ . . . +а2п). Следовательно, если ряд оо 1 расходящийся, то по крайней мере одно из количеств Q2n, Q2n+\ будет беспредельно расти и L{ = L. что не! Qn = а>п Qn-i + Qn-г Мы говорим в этом случае, что непрерывная дробь сходится. С другой стороны, из S2