Сборник задач, предлагающихся на конкурсных экзаменах при поступлении в специальные высшие учебные заведения

— 26 — 11. Построить треугольникъ по данному основанию, углу при вер­и ш ь и точкъ на основаши, черезъ которую проходить биссектрисса угла при вершинъ. Дано: а; А: точка В на основаши. (М. том. м.). Анализъ. Допустимъ, что Д ABC (черт. 22) искомый. Со­единивъ вершину А съ точкой В, получимъ биссектриссу АВ. Изъ точки А обаотръзка прямой ВС видны подъ углами, равными \А. Слъд. точка А должна находиться на переев­ши дугъ, описанныхъ на BD и СВ и вмъщающихъ углы, равные ?, L А. (Г. М. УН). Построете. На каждомъ изъ отръзковъ ВВ и СВ данной стороны ВС описываемъ дугу, вмъщающую уголъ Пере­с е ч е т е УТИХЪ дугъ даетъ вершину А искомаго тре-ка; соеди­нивъ А съ В и С, получимъ Д ABC. Доказательство. Соединивъ точки А и В, видимъ, что пря­мая -1 D есть биссектрисса; уголъ при в е р ш и н е ВАС — BAB - j -А А ~f- CAB = - - - - ) - •- = А; и сторона ВС = а. Итакъ, Д ABC со-цержитъ в с е требуемые элементы. Изслъдоваже. Такъ какъ д в ъ дуги вмещающая углы ---имъютъ одну общую точку именно В, причемъ касаться въ этой точкъ о н е не могутъ, то непременно существуетъ и вторая точка ихъ пересъчешя, определяющая собой положе-ше вершины А. Итакъ, задача всегда возможна и к м е е т ъ только одно ръшеше. Друпе способы рЪшешя этой задачи. Такъ какъ биссектрисса делить противолежащую сторону на части, пропорщональнын двумъ другимъ сторонамъ, то АВ : ЛС= BI) ; ПС и слЬд. вершина А найдется въ по-ресЬчеиш дуги, описанной на ВС и вмещающей /_А\\ Аполлошевой окружности, разстоишо точект» которой до В и С находится въ отно-шенш, равном ь ВТ): DC. Вотъ еще одно простое ръшеше. Описавъ на ВС дугу, вмещаю­щую Z А (черт. 2В) и опустивъ изъ центра ея Д н а ВС, продолжаемъ атотъ до пересЪчешя съ окружностью въ точкъ К. Соединяемъ К съ Л и продолжаемъ KD до перссЬчешя еъ окружностью въ точкъ