Граничные свойства однозначных аналитических функций

30Глава II Следовательно, необходимым условием субгармонической непре-рывной функции и (z) является выполнение неравенства (А) в катв-ой точке z0 области D , начиная с достаточно малого радиусаЗамечательным является то обстоятельство, что соотношение (А)одновременно представляет и достаточное условие, для того, чтобынепрерывная функция была субгармонической. Итак, предполагаянепрерывность функции u(z), докажем7 что условие (А) являетсяодновременно и достаточным для субгармоничности функции. Возь-мем произвольную область G, принадлежащую D ,построим, непрерывную в G, удо-влетворяющую на границе Г области G условию Ur(z) = u(z). Погармоническую функцию V (z) внутрикажем, что при соблюдении условия (А) всюду внутри G имеемu{z)U(z).Допуская противное, предположим, что и [z) > U (z) в некото-рой точке z области G. Тогда разность d(z) u{z)U(z)в этойточке будет положительной. Так как на границе Г функция d(z) исчезает, будучи непрерывной в замкнутой области G, то онадостигает наибольшего значения М > О внутри области (?. Мно-в которых d = ilfжествовсех точек, внутренних к облает:есть замкнутое Обозначиммножества F, d{zx)М.через zx любую граничную точку этогоЛегко видеть что2-пd (*х) > ^ 1ГС(21)Одля бесконечно многих р, стремящихся к нулю, потому что если бымели, начиная с достаточно малогоравенствоd12d{z1 + pei^) db отобыло бы постоянным, равным М вокрестности точки z что невозможно, такЗаметив, чтокак zx—граничная точка множества F. 217ZU {z. + реІѲ) № (22)Ои складывая равенство (22) с неравенством ( 2 1 ) , получим:2TSи {zx) > _1_2оПоследнее неравенство, выполняемое для сколь угодно малых р,противоречиво с условием (А).