Интегрирование и отыскание примитивных функций

УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 31 Множество точек на прямой образует интегрируемую группу, если точки множества могуг быть заключены в конечное число сегментов, общая сумма длин которых как угодно мала 1) . Конечное число точек образует интегрируемую группу, но обратное предложение неверно. Рассмотрим множество Z тех точек, абсциссы которых даются фор­мулой: у — ?£ JL ^ I -3 _ L 3 " Т " 32 Т ЗЗ - г • • Ч где все а равны 0 і ли 2. Это множество получается удалением из ин-т.рвала (0, 1) сначала точек внутренних для интервала затем / 1 2 \ / 2 . 1 2 , 2 \ точек внутренних для интервалов ( g j , ^ І , ^ у + з ^ , у+ 3 2 ) » затем / 1 2 \ / 2 , 1 2 , 2 4 / 2 , 1 точек внутренних для интервалов - ^ j , ^ 3 2 + 3 3 , 32 + 337» І 3 Т 3 3 1 У + і О ' [І + J» + A ' у + ~ + J ) и т. д., следовательно, каждый оогав-шийся интервал всегда делится на три равные части и из них удаляется средняя. После п таких операций остается 2п интервалов; эти 2п интер­валов могут служить для покрытия 2) всех точек Z ; но общая сумма 2п их длин равна значит, Z есть интегрируемая группа. Эта конструкция множества Z , кроме того, показывает, что оно совершенно, значит, оно имеет мощность континуума. Очевидно, что множество, образованное соединением точек двух ин­тегрируемых групп, является само, в свою очередь, интегрируемой группой. Дадим теперь формулировку дю-Буа-Реймона: Для того, чтоб и ограниченная функция была интегрируемой, не­обходимо и достаточно, чтобы при всяком е > О множество точек% в которых колебание больше е, образовывало интегрируемую группу, Допустим, что / интегрируема; тогда можно разделить (а, Ь) на част­ные интервалы так, чтобы сумма длин ffcx из них, где колебание боль­ше е, была меньше т). Точка, в которой колебание больше t, не может содержаться в интервале, где колебание не превышает е, значит, такая точка по необходимости есть либо одна из точек деления (а, Ь\ либо же входит в один из упомянутых интервалов, общая длина которых меньше т]. Но число...