Простые числа

где ^ ааг ~ - bb} abi ^ ЬІЦ - ab] п{2 - - аф^ — b[- 1 as- — axbv - j - bj* Это выражение показывает, что частное двух целых чисел может уже не быть целым числом, В случае, когда частное от деления а -\-~ bp на а^-г-Ь^ есть целое число ( т . е. Л и В — целые рациональные числа), мы будем говорить, что а ~\~Ьь делится на ах -~-Так же, как дли целых рациональных чисел, вводится по­нятие сравнения: два целых числа a A-bp и с -\-dp называются сравнимыми по модулю т-[~пр, если их разность делится на т - j - яр. Очевидно, и здесь сравнения можно складывать, в ь ь читать и перемножать. Если целые числа М и /V делятся на целое число D , то, очевидно, все числа вида MA'Ix-\- NNl9 где М1 и Ni — целые, тоже делятся на Л . Модуль целого числа а - j - bp равен ~\f(2a— b)24- 3b2 п т. е. есть половина квадратного корня из целого рациональ­ного числа, и притом всегда число не меньшее 1, за исключе­нием случая, когда а = b = 0. Поэтому, если мы имеем после­довательность целых чисел с уменьшающимися модулями, т о такая последовательность не может быть бесконечной. Нетрудно видеть, что из всех чисел а-\-Ьр модуль .1 имеют только числа =±:1, r+zp, ±о2. В самом деле, из -і- У(2сГ^Ь)^~ЗЬ'2 = 1, т. е. (2а—Ь)2 ~\~ ЗЬ2 = 4 следует: или 2а — b = ^z2, b = 0, или 2а — b — ±.l, & = - f - 1 , или 2а—# = г г : 1 , Ь = —1 . В первом случае #-}-#р — г п і , во втором a-{-bp есть или р, или 1 —{— р = —р'2, в третьем а-\-Ьр есть или — о , или — 1 —р = р2. Всякое целое делится на каждое из шести чисел z t 1, ±о, z±:p'2. И обратно, если на какое-нибудь целое число d делится всякое целое число, то на него, в частности, должно делиться число 1, а значит его абсолютная величина должна быть равна \ , т. е. d должно совпадать с одним из шести указанных чисел. Будем в дальнейшем числа ± 1, zizp, z±ip2 называть еди­ницами. Два числа, отличающиеся множителем, являющимся одной из единиц, будем называть ассоциированными.