Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве

Содержание книги "Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве"

I Дифференциальная геометрия кривых
I Кривые и поверхности
I.1 Дифференцирование и интегрирование векторной функции
I.1.1 Бесконечно малые векторы
I.1.2 Предел переменного вектора
I.1.3 Векторная функция скалярного аргумента
I.1.4 Производная векторной функции
I.1.5 Геометрический смысл производной векторной функции
I.2 Дифференцирование и интегрирование векторной функции
I.2.1 Правила дифференцирования вектора
I.2.2 Формула Тейлора
I.2.3 Интегрирование векторной функции
I.3 Векторные функции со специальными свойствами
I.3.1 Вектор постоянной длины и вектор постоянного направления
I.3.2 Вектор, параллельный данной плоскости
I.3.3 Круговая векторная функция
I.4 Кривые в пространстве
I.4.1 Параметризованная кривая
I.4.2 Касательная параметризованной кривой
I.4.3 Неявное уравнение плоской кривой
I.5 Поверхности
I.5.1 Поверхность и ее касательные. Нормаль поверхности
I.5.2 Особая точка поверхности
I.5.3 Неявное задание пространственной кривой
I.6 Соприкосновение кривых и поверхностей
I.6.1 n-параметрическое семейство кривых
I.6.2 Соприкосновение кривых
I.6.3 Соприкосновение кривой и поверхности
II Сопровождающий трехгранник
II.1 Соприкасающаяся плоскость
II.1.1 Определение соприкасающейся плоскости
II.1.2 Уравнение соприкасающейся плоскости
II.1.3 Касательная плоскость и соприкасающаяся плоскость
II.1.4 Расстояние от точки кривой до соприкасающейся плоскости
II.1.5 Точки уплощения
II.2 Основной трехгранник
II.3 Натуральная параметризация кривой
II.3.1 Длина дуги
II.3.2 Длина дуги как параметр
II.3.3 Производные радиуса-вектора по натуральному параметру
III Формулы Френе - Серре
III.1 Единичные векторы основного трехгранника
III.2 Формулы Френе - Серре
III.3 Разложение производных по натуральному параметру
III.4 Лемма о единичном векторе
III.5 Геометрический смысл кривизны
III.6 Геометрический смысл кручения
III.7 Формулы для вычисления кривизны и кручения
III.8 Кривизна плоской кривой
IV Натуральные уравнения кривой
IV.1 Натуральные уравнения
IV.2 Кривые с общими натуральными уравнениями
V Задачи дифференциальной геометрии кривых
V.1 Общие задачи о кривых
V.2 Кривая и касательная
V.3 Поверхность и ее касательные
V.4 Соприкосновение
V.5 Сопровождающий трехгранник
V.6 Формулы Френе - Серре
V.7 Кривизна и кручение кривой
V.8 Натуральные уравнения кривой
VI Дифференциальная геометрия кривых в пакете Maple
VI.1 Maple-процедура вычисления производных векторной функции скалярного аргумента
VI.2 Процедура вычисление кривизны кривых
VI.3 Процедура вычисления кручения кривых
VI.4 Пример исследования кривых
VI.5 Исследование кривых в евклидовом пространстве по их натуральным уравнениям
VI.5.1 Задание кривой
VI.5.2 Вычисление кривизны и кручения кривой
VI.5.3 Формирование системы дифференциальных уравнений
VI.5.4 Начальные условия
VI.5.5 Задание натуральных уравнений кривой
VI.5.6 Создание процедуры численного интегрирования
II Дифференциальная геометрия поверхностей
VII Первая квадратичная форма поверхности
VII.1 Криволинейные координаты
VII.2 Параметрическое уравнение поверхности
VII.3 Касательные прямые к поверхности
VII.4 Касательная плоскость к поверхности
VII.5 Длина дуги на поверхности
VII.6 Первая квадратичная форма поверхности
VII.7 Угол между двумя линиями на поверхности
VII.8 Площадь поверхности
VII.9 Задачи на первую квадратичную форму поверхности
VIII Внутренняя геометрия поверхности
VIII.1 Наложимость поверхностей
VIII.2 Преобразование первой квадратичной формы
VIII.3 Задачи внутренней геометрии
VIII.4 Геодезическая кривизна и геодезические линии
VIII.4.1 Определение геодезической кривизны
VIII.4.2 Геодезические линии и уравнения геодезических линий
VIII.5 Геодезическая линия как кратчайшая
VIII.6 Задачи внутренней геометрии поверхности
IX Вторая квадратичная форма поверхности
IX.1 Кривизна кривых на поверхности
IX.2 Формулы для кривизн
IX.3 Классификация точек поверхности
IX.4 Задачи на вторую квадратичную форму поверхности
X Геометрия поверхностей вращения
X.1 Первая квадратичная форма
X.2 Вторая квадратичная форма
X.3 Геодезические поверхности вращения
X.4 Геометрия сферы
X.4.1 Метрика сферы
X.4.2 Кривизна сферы
X.4.3 Основные формулы для сферы
X.4.4 Геодезические сферы
X.4.5 Стереографическая проекция сферы на плоскость
X.5 Геометрия псевдосферы
X.5.1 Трактриса и псевдосфера
X.5.2 Первая квадратичная форма псевдосферы
X.5.3 Вторая квадратичная форма псевдосферы
X.5.4 Геодезические псевдосферы
XI Построение геодезической сети на псевдосфере средствами Maple
XI.1 Задание псевдосферы и вычисление производных радиуса-вектора
XI.2 Нахождение матрицы первой квадратичной формы псевдосферы
XI.3 Вычисление символов Кристоффеля псевдосферы
XI.4 Приведение уравнений геодезических к нормальной системе ОДУ
XI.5 Ввод группы начальных условий
XI.6 Изображение верхней половины псевдосферы и линий начальных условий
XI.7 Процедуры численного интегрирования нормальной системы ОДУ
Литература