Теория разрывных функций

которое мы обозначим соответственно через St и £2. Мы условимся говорить, что последовательность &2 возрастает сильнее последовательности Sv если существует такое число р, что при w> j » всякий раз 6 > ап, Вообще говоря, две последовательности несравнимы: т. е. ни одна из них не возрастает сильнее другой. Мы покажем, что если нам дано счетное множество последо­вательностей, то всегда можно построить последовательность, возрастающую сильнее} нежели каждая из данных. Обозначим данные последовательности соответственно через Sj, S.z,.. , . . . з а каждый из элементов — посредством пары индексов. Мы получим таким образом безграничную в двух направлениях таблицу элементов; ' ° 2 1 » а22 ' " " ' а2р 5 ' ' • °пО anV ' %> Мы теперь построим некоторую новую последовательность Е, элементы которой мы будем обозначать через Ьх, Ь%,..., Ьр,... За bt мы примем целое число, следующее за ап, за Ь2 — целое число, следующее за наибольшим из чисел al 2 и а2 2; за Ьр — целое число, следующее за наибольшим из чисел a Последовательность И тем самым вполне определена. Я утвер­ждаю, что она возрастает сильпее, нежели любая из данных последовательностей. В самом деле, сравнивая S и 2, мы видим, что, начиная с «-го члена чем и доказывается наше утверждение. Применим доказанную теорему к следующим последователь­ностям, из которых каждая возрастает сильнее предыдущей: Sj , \ , 1 , 4 • • Ч 1 » • . • О О О О 31