Лекции по линейному функциональному анализу

Содержание книги "Лекции по линейному функциональному анализу "

Предисловие
I. Функции ограниченной вариации, абсолютно непрерывные функции и пространства Гёльдера
Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации
§ 1. Определение пространства BV [a, b] и его свойства
§ 2. Интеграл Римана — Стилтьеса
§ 3. Интегрирование по частям в интеграле Римана — Стилтьеса
§ 4. Линейные функционалы над C [a, b]
Семинар-Лекция 1. Функции ограниченной вариации
§ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)
§ 2. Другие важные свойства
§ 3. Некоторые примеры
§ 4. Некоторые критерии
§ 5. Некоторые контрпримеры
§ 6. Дальнейшие свойства
§ 7. Пример на исследование функции
§ 8. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 2. Интеграл Римана — Стилтьеса
§ 1. Свойства
§ 2. Задачи для самостоятельного решения
Лекция 2. Пространства AC и Гёльдера
§ 1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций
§ 2. Определение пространства Гёльдера C^k+δ(Ω)
§ 3. Параболические пространства Гёльдера
Семинар-Лекция 3. Абсолютно непрерывные функции
§ 1. Определения и свойства
§ 2. Задачи для самостоятельного решения
Лекция 3. Сглаживание функций
§ 1. Функция «шапочка» и сглаживание
§ 2. Основная лемма вариационного исчисления
Дополнение 1. Дополнение к лекции 2
§ 1. К теореме Лебега о производной функции f ϵ AC [a, b]
II.Пространства Лебега: дальнейшие результаты
Семинар-Лекция 4. Теорема Радона — Никодима
§ 1. Заряды
§ 2. Разложение Хана и разложение Жордана
§ 3. Типы зарядов
§ 4. Теорема Радона — Никодима
§ 5. Задачи для самостоятельного решения
Лекция 4. Пространства Лебега. Продолжение
§ 1. Следствие неравенства Гёльдера
§ 2. Одна интерполяционная лемма
§ 3. Обобщенное неравенство Гёльдера
§ 4. Теорема Рисса
Семинар-Лекция 5. Пространства Лебега
§ 1. Полнота пространств Лебега
§ 2. Нелинейный сжимающий оператор
§ 3. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 6. Слабая сходимость, дальнейшие факты
§ 1. Примеры и контрпримеры
§ 2. Связь сильной и слабой сходимости
§ 3. Пространство l¹. Свойство Шура
§ 4. Задачи для самостоятельного решения
III. Пространства основных и обобщённых функций и их приложения к дифференциальным уравнениям
Лекция 5. Пространства основных D(R^{NN § 1. Пространство функций D(K)
§ 2. Пространства (D(K_n), τК_n) и D(Ω)
§ 3. Пространство распределений D'
§ 4. Регулярные и сингулярные обобщённые функции
Семинар-Лекция 7. Пространства D и D'
§ 1. Вводные замечания
§ 2. Пространство D: некоторые примеры
§ 3. Обобщенные функции из D': примеры
§ 4. Операции над обобщёнными функциями из D': умножение на a ϵ C∞ (RN)
§ 5. Операции над обобщёнными функциями из D': дифференцирование
§ 6. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 8. Пространство D', продолжение
§ 1. Линейная замена переменной
§ 2. Сходимость в пространстве D'
§ 3. Прямое (тензорное) произведение обобщённых функций из D'
§ 4. Свертка обобщенных функций
§ 5. Задачи для самостоятельного решения
Лекция 6. Преобразование Фурье
§ 1. Пространство S
§ 2. Преобразование Фурье
§ 3. Операторы Фурье F и F–1 на пространстве S
§ 4. Свертка
§ 5. Транспонированный оператор
§ 6. Фундаментальные решения
Семинар-Лекция 9. Фундаментальные решения в D'
§ 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора
§ 2. Обобщённая задача Коши
§ 3. Задачи для самостоятельного решения
IV. Пространства С. Л. Соболева
Лекция 7. Слабая и сильная производные
§ 1. Слабая производная
§ 2. Сильная производная
§ 3. Слабая производная произведения функций
§ 4. Слабая производная сложной функции
Лекция 8. Пространства Соболева W1,p(Ω), W01,p(Ω) и W–1,p1(Ω)
§ 1. Пространства H1(D) и H01(D)
§ 2. Оператор Рисса — Фреше для гильбертового пространства H01(D)
§ 3. Пространства С. Л. Соболева W1,p(D) и W01,p(D) при p>2
Семинар-Лекция 10. Пространства С. Л. Соболева
§ 1. Неравенство Фридрихса
§ 2. Ортогональные дополнения в соболевских пространствах
§ 3. Пример неограниченной функции из W1,2(Ω)
§ 4. Пространства Соболева с отрицательными индексами
§ 5. Применение пространств Соболева
§ 6. Задачи для самостоятельного решения
Лекция 9. Теоремы о непрерывных вложениях пространства Wo1,p(Ω)
§ 1. Случай N>p
§ 2. Случай N Лекция 10. Теоремы о вполне непрерывных вложениях пространства Wo1,p(Ω)
§ 1. Случай N>p: теорема Реллиха — Кондрашова
§ 2. Случай N V. Абстрактное интегрирование
Семинар-Лекция 11. Абстрактные функции
§ 1. Абстрактные функции. Непрерывность, предел
§ 2. Дифференцирование абстрактных функций
§ 3. Интегрирование (по Риману)
§ 4. Лемма о продолжении в точку
§ 5. Задачи для самостоятельного решения
Лекция 11. Абстрактное интегрирование
§ 1. Интеграл Бохнера
§ 2. Сильная и слабая измеримость
§ 3. Интегрируемость по Бохнеру
Предметный указатель
Список литературы}