Лекции по линейному функциональному анализу

Содержание книги "Лекции по линейному функциональному анализу "

Предисловие
I. Мера Лебега. Интеграл Лебега. Пространства Лебега
Лекция 1. Теория меры Лебега множеств из R²
§ 1. Необходимость расширения понятия интеграла
§ 2. Некоторые факты из теории множеств
§ 3. Элементарные множества на плоскости
§ 4. Внешняя мера множеств
§ 5. Измеримые по Лебегу множества
§ 6. Счетная аддитивность меры Лебега
Лекция 2. Интеграл Лебега
§ 1. Измеримые по Лебегу функции
§ 2. Интеграл Лебега
§ 3. Сходимости почти всюду и по мере
§ 4. Свойства интеграла Лебега
Лекция 3. Предельный переход под знаком интеграла Лебега
§ 1. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега
§ 2. Теорема Лебега
§ 3. Теорема Беппо Леви
§ 4. Лемма Фату
§ 5. Случай множества X с неограниченной мерой у
Лекция 4. Пространства Лебега
§ 1. Класс интегрируемых по Лебегу функций
§ 2. Пространства Лебега L^p(X,μ) при p≥1
§ 3. Неравенство Гёльдера
Семинар-Лекция 1. Элементы теории множеств
§ 1. Понятие множества
§ 2. Операции надмножествами
§ 3. Взаимно однозначное соответствие
§ 4. Счетные множества
§ 5. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 2. Свойства измеримых множеств
§ 1. Тождества теории множеств (продолжение)
§ 2. Основные свойства меры Лебега
§ 3. Существование неизмеримых множеств
§ 4. Некоторые классы измеримых множеств
§ 5. Пример множества, измеримого по Лебегу и неизмеримого по Жордану
§ 6. Некоторые измеримые множества и их мера. Множество Кантора
§ 7. Связь лебеговых мер в евклидовых пространствах разной размерности
§ 8. Непрерывность меры Лебега
§ 9. Отношение эквивалентности
§ 10. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега
§ 1. Типы сходимости функциональных последовательностей
§ 2. Теоремы о сходимости и контрпримеры
§ 3. Основные свойства интеграла Лебега
§ 4. Основные свойства пространств Лебега
§ 5. Задачи для самостоятельного решения
II. Метрические пространства
Лекция 5. Первоначальные сведения
§ 1. Определение и пример
§ 2. Открытые и замкнутые множества
§ 3. Плотные и неплотные множества
§ 4. Множество Кантора
Лекция 6. Непрерывные отображения
§ 1. Определения по Коши и по Хайне
§ 2. Критерий непрерывности отображения в терминах открытых множеств
§ 3. Компактные метрические пространства
§ 4. База топологии метрического пространства
Лекция 7. Полнота метрических пространств
§ 1. Полные метрические пространства
§ 2. Изометрия метрических пространств
§ 3. Пополнение метрических пространств
§ 4. Теорема Бэра о категориях и ее следствия
Семинар-Лекция 4. Примеры метрических пространств
§ 1. Примеры и контрпримеры
§ 2. Свойства открытых и замкнутых множеств
§ 3. Пример метрического пространства последовательностей
§ 4. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 5. Метрические пространства. Дополнение
§ 1. Простейшие свойства метрических пространств
§ 2. Некоторые свойства полных метрических пространств и их приложения
§ 3. Дальнейшие примеры на сходимости и замыкания
§ 4. Задачи для самостоятельного решения
III. Топологические пространства
Лекция 8. Первоначальные сведения
§ 1. Определение топологического пространства
§ 2. Фундаментальная система окрестностей
§ 3. Примеры
§ 4. Сравнение топологий и метризуемые топологические пространства
§ 5. База топологии и относительная топология
Лекция 9. Замыкание. Внутренность. Граница
§ 1. Точки прикосновения и замыкание множества
§ 2. Замкнутые множества и замыкание множества
§ 3. Внутренние точки множества
§ 4. Граница множества
§ 5. Всюду плотные множества
Семинар-Лекция 6. Топологические пространства. Обсуждение
§ 1. Открытые множества и окрестности
§ 2. База топологии
§ 3. База, локальная база и фундаментальная система окрестностей
§ 4. Первая аксиома счетности. Контрпример
§ 5. Замыкание и внутренность
§ 6. Пересечение топологий
§ 7. Задачи для самостоятельного решения
IV. Векторные топологические пространства
Лекция 10. Предварительные сведения
§ 1. Линейные функционалы
§ 2. Определение векторного топологического пространства (ВТП)
§ 3. Выпуклые, уравновешенные, ограниченные и поглощающие множества
§ 4. Пространство линейных и непрерывных функционалов над ВТП (X, τ)
§ 5. Локально выпуклые пространства
Лекция 11. Полунормы
§ 1. Полунормы и функционал Минковского
§ 2. Локально выпуклые пространства. Построение с помощью полунорм
§ 3. Теорема о непрерывности полунорм
Семинар-Лекция 7. ВТП. Обсуждение
§ 1. Выпуклые множества
§ 2. Непосредственные следствия аксиом. Некоторые ограничения на топологию
§ 3. Полунормы. Примеры
§ 4. Полунормы и топология
§ 5. Функционал Минковского. Примеры
§ 6. Задачи для самостоятельного решения
V. Банаховы пространства
Лекция 12. Первоначальные сведения
§ 1. Определение и примеры
§ 2. Эквивалентные нормы
§ 3. Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах
§ 4. Линейные функционалы
§ 5. Слабая и *-слабая сходимость
Лекция 13. Теорема Хана — Банаха
§ 1. «Вещественный» вариант теоремы Хана — Банаха
§ 2. «Комплексный вариант» теоремы Хана — Банаха
§ 3. Следствия из теоремы Хана — Банаха
Лекция 14. Теорема Банаха — Штейнгауза
§ 1. Дважды сопряженное пространство
§ 2. Теоремы Банаха — Штейнгауза
§ 3. Операторные топологии
Лекция 15. Теорема об обратном отображении
§ 1. Открытые отображения
§ 2. Обратное отображение
§ 3. Замкнутый график
Лекция 16. Слабая и *-слабая сходимость
§ 1. Свойства слабой и *-слабой сходимостей
§ 2. Равномерная выпуклость банаховых пространств
Лекция 17. Спектральная теория в банаховых пространствах
§ 1. Банаховы алгебры
§ 2. Интеграл Бохнера
§ 3. Обратимые элементы банаховой алгебры
§ 4. Резольвента
§ 5. О непрерывности резольвенты
§ 6. Свойства резольвенты. Спектр элемента
§ 7. Алгебра функций, аналитических в окрестности спектра
§ 8. О существовании обратной операторной функции
§ 9. Лемма об отображении спектра
§ 10. Степенные ряды
Семинар-Лекция 8. Банаховы пространства: общие сведения
§ 1. Общие вопросы теории нормированных пространств
§ 2. Ряды в банаховом пространстве. Сходимость абсолютно сходящегося ряда
§ 3. Примеры линейных функционалов
§ 4. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 9. Банаховы пространства. Дальнейшие сведения
§ 1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах
§ 2. Конкретные сопряженные пространства: (l^p)* ~ l^q
§ 3. Случай сходимости на всюду плотном подмножестве
§ 4. Нерефлексивность некоторых пространств
§ 5. Пример неэквивалентности слабой и *-слабой сходимости
§ 6. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 10. Спектральная теория. Обсуждение
§ 1. Некоторые понятия и факты теории аналитических банаховозначных функций
§ 2. Теорема об отображении рядов
§ 3. Обратимость элементов банаховой алгебры
§ 4. Спектральное разложение, соответствующее замкнутым компонентам спектра
§ 5. Вычисление операторных норм. Примеры
§ 6. Функции от оператора. Примеры
§ 7. Задачи для самостоятельного решения
VI. Гильбертовы пространства. Общая теория
Лекция 18. Свойства гильбертовых пространств
§ 1. Определение гильбертова пространства и его свойства
§ 2. Теорема Беппо Леви
§ 3. Разложение по базису
Лекция 19. Теория операторов в гильбертовых пространствах
§ 1. Теорема Рисса — Фреше
§ 2. Полуторалинейные формы
§ 3. Транспонированный и сопряженный операторы
§ 4. Самосопряженный оператор
§ 5. Спектр самосопряженного оператора
§ 6. Теорема о спектре
§ 7. О норме самосопряженного оператора
Семинар-Лекция 11. Гильбертовы пространства. Обсуждение
§ 1. Необходимое условие «евклидовости»
§ 2. Поляризационное тождество
§ 3. Замкнутые и незамкнутые подпространства гильбертова пространства
§ 4. Гильбертов сопряженный оператор. Простейшие свойства и примеры
§ 5. Ортогональная проекция на конечномерное подпространство. Ортопроекторы
§ 6. Некоторые замечания о слабой сходимости
§ 7. Задачи для самостоятельного решения
Семинар-Лекция 12. Компактность. Основные идеи
§ 1. Топологическое определение компактности
§ 2. Компактные метрические пространства. Определение
§ 3. Компактность и полная ограниченность
§ 4. Связь между метрическим и топологическим определениями компактности
§ 5. Компактные множества в метрических пространствах
§ 6. Некоторые простые факты
§ 7. Эквивалентность норм в конечномерном линейном пространстве
§ 8. Теорема Арцела
§ 9. Теорема Пеано
§ 10. Приложение
§ 11. Задачи для самостоятельного решения
Предметный указатель
Список литературы