Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений
Автор: Борис Гребенщиков, Надежда Гредасова, Андрей Ложников, Оксана Матвийчук, Александр Сесекин
Форматы: PDF
Издательство: Издательство Уральского университета
Год: 2016
Место издания: Екатеринбург
ISBN: 978-5-7996-1791-2
Страниц: 123
Артикул: 96820
Краткая аннотация книги "Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений"
Приведено понятие устойчивости по Ляпунову. Сформулированы и доказаны основные теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости. Дана геометрическая интерпретация метода функций Ляпунова. Отдельно исследованы вопросы устойчивости для линейных систем. Рассмотрены задачи стабилизации. Исследована задача устойчивости и стабилизации консервативных механических систем. Изучены асимптотические свойства разностных систем. Приведены примеры применения разностных систем при исследовании свойств дифференциальных уравнений. Приведена задача стабилизации разностных систем. Рассмотрены иллюстрирующие примеры. Учебное пособие предназначено для студентов направления — Прикладная математика, а также для студентов, аспирантов и специалистов, интересующихся задачами теории устойчивости.
Содержание книги "Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений"
Введение
1. Устойчивость и стабилизация систем обыкновенных дифференциальных уравнений 6
1. Определение устойчивости по Ляпунову
2. Метод функций Ляпунова
3. Метод функции Ляпунова для неустановившихся движений
4. Теоремы Барбашина–Красовского
5. Геометрическая интерпретация метода функций Ляпунова
6. Примеры
7. Устойчивость линейных неоднородных систем
8. Устойчивость линейных однородных систем
9. Устойчивость линейной системы с постоянной матрицей
10. Критерии Гурвица и Михайлова
11. Лемма Гронуолла–Беллмана
12. Устойчивость по первому приближению
13. Точки покоя линейных систем второго порядка с постоянными коэффициентами
14. Примеры построения фазовых портретов для линейных и нелинейных систем второго порядка
15. Другие определения устойчивости
2. Стабилизация динамических систем 42
1. Постановка задач стабилизации
2. Основная теорема об оптимальной стабилизации
3. Стационарная линейно-квадратичная задача
4. Построение оптимальной функции Ляпунова в случае нестационарных линейных систем
5. Оптимальная стабилизация неоднородных систем
6. Стабилизация вполне управляемых консервативных систем
7. Оптимальное демпфирование переходных процессов
3. Устойчивость и стабилизация разностных систем и систем с запаздывающим аргументом
1. Устойчивость и стабилизация разностных систем
2. Устойчивость и стабилизация систем с запаздывающим аргументом
2.1. Постановка основной начальной задачи. Классификация
2.2. Метод шагов
2.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента. Устойчивость решения
2.4. Случай малого отклонения аргумента
2.5. Исследование устойчивости с помощью функционалов Ляпунова—Красовского
3. Стабилизация некоторых линейных систем c запаздыванием
Заключение
Домашнее задание
Библиографический список
Все отзывы о книге Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений
Отрывок из книги Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим теперь траекторииy(t;t0, y0)иy(t;t0, y(ki)), выходящие приt=t0соответственно из точекy∗иy(ki), гдеy(ki)— одна из точек последова-тельности, соответствующаяt=tki. В связи с тем, что по условию теоремытраекторияy(t;t0, y∗)приt0≤t <∞не может лежать целиком на множе-ствеM,то должны существовать такие интервалы времени, когда˙V <0вдоль этой траектории. Следовательно, можно указать такой момент вре-мениT > t0, в который выполняется условиеV(y(T;t0, y∗))< V∗. Так какпоследовательностьy(t∗;t0, y0)сходится к точкеy∗, то в силу непрерывнойзависимости решений от начальных данных можно записатьy(T;t0, y∗)−y(T;t0, y(ki))< δпри всехki> N(δ), каково бы ни было наперед заданное числоδ >0.Следовательно,limV(y(T;t0, y(ki)))< V∗приki→ ∞.(1.19)Исходная система (1.15) автономна и поэтому ее решения обладают груп-повым свойствомy(t;t0, y0)≡y(t+τ;t0+τ, y0). Кроме того, в силу един-ственности решения, имеемy(t;τ, y(τ;t0, y0)) =y(t;t0, y0). Отсюда получаемy(T;t0, y(ki)) =y(T+tki;t0+tki, y(tki;t0, y0)) =y(T+tki;t0, y0).(1.20)Подставляя выражение (1.20) в (1.19), получаемlimV(y(T+tki;t0, y0))< V∗приki→ ∞.Это неравенство противоречит (1.18), поэтому допущение, чтоV∗= 0неверно, следовательно,V∗= 0иlimV(y(t;t0, y0)) = 0приt→ ∞.Отсюда вследствие знакоопределенностиV(y)получаемlimt→∞y(t;t0, y0)= 0,что и требовалось доказать.Можно аналогичным образом сформулировать критерий неустойчиво-сти, который является обобщением соответствующей теоремы Ляпунова [11,c. 84].Теорема 8.Если для дифференциальных уравнений возмущенного движе-ния можно найти функциюV(x), производная которой по времени в силусистемы удовлетворяет в области(1.16)следующим условиям:1) ˙V >0внеM;16
С книгой "Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений" читают
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Бестселлеры нон-фикшн
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Новинки книги нон-фикшн
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
Посмотреть
и мы свяжемся с вами в течение 15 минут
за оставленную заявку