Основы численных методов линейной алгебры

Читать фрагмент

книга

Основы численных методов линейной алгебры

В пособии излагаются основные принципы построения и исследования численных методов решения задач линейной алгебры. Приведены практические задания по методам, изучаемым в пособии.Пособие предназначено для студентов направлений «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика».

Форматы: PDF

Издательство: Казанский федеральный университет (КФУ)

Год: 2018

Место издания: Казань

ISBN: 978-5-00130-010-6

Страниц: 136

Артикул: 92562

Возрастная маркировка: 16+

Электронная книга

75 ₽

Купить и скачать

Содержание

Содержание книги "Основы численных методов линейной алгебры "

Предисловие

Глава 1. Примеры задач, приводящих к системам линейных алгебраических уравнений

§ 1. Системы нелинейных уравнений

§ 2. Приближение функций

§ 3. Задача Коши для дифференциальных уравнений

§ 4. Интегральные уравнения

§ 5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

§ 6. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных

Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

§ 1. Трудоемкость базовых операций линейной алгебры

§ 2. Простые системы уравнений

§ 3. Метод исключения Гаусса

§ 4. Метод Холесского

§ 5. Унитарная триангуляция матриц

§ 6. Построение обратной матрицы

§ 7. Метод прогонки для систем с трехдиагональными матрицами

Глава 3. Вспомогательные сведения из теории операторов. Системы уравнений общего вида

§ 1. Дефект и ранг линейного оператора

§ 2. Ранг матрицы

§ 3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия разрешимости

§ 4. Линейные уравнения в евклидовом пространстве

§ 5. Псевдорешение. Метод регуляризации Тихонова

§ 6. Сингулярное разложение оператора

Глава 4. Нормы векторов и матриц

§ 1. Основные неравенства

§ 2. Нормы на пространстве Cn

§ 3. Теорема Хана — Банаха. Дуальные нормы

§ 4. Нормы на пространстве матриц

Глава 5. Элементы теории возмущений

§ 1. Задача на собственные значения для эрмитовой матрицы

§ 2. Собственные числа произвольной матрицы

§ 3. Возмущения и обратимость матрицы

§ 4. Устойчивость систем линейных уравнений

Глава 6. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

§ 1. Простейшие итерационные методы

§ 2. Элементы общей теории итерационных методов

§ 3. Итерационные методы вариационного типа

Глава 7. Алгебраическая проблема собственных значений

§ 1. Методы прямой и обратной итераций

§ 2. Метод Якоби решения задач на собственные значения

§ 3. QR-алгоритм

Глава 8. Практикум по численным методам

§ 1. Варианты систем линейных уравнений

§ 2. Задание 1. Решение трехдиагональных систем уравнений

§ 3. Задание 2. Метод Гаусса

§ 4. Задание 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента

§ 5. Задание 4. Итерационные методы вариационного типа

§ 6. Задание 5. Метод Якоби решения задачи на собственные значения

Основные обозначения

Литература

Отрывок из книги

16Глава 1. Примеры задач, приводящих к системам линейных уравненийи рассмотрим уравнение (5.1) только во внутренних точках сетки.Получим−u′′(xi) +q(xi)u(xi) =f(xi),i= 1, . . . , n−1.Определим формулу для приближенного вычисленияu′′(xi)как ком-бинацию разностных отношений (3.4) и (3.5):u¯x x(x) = (u¯x)x(x) =u(x−h)−2u(x) +u(x+h)h2.(5.3)Разложением в ряд Тейлора показывается, чтоu′′(x)−u¯x x(x) =O(h2), еслиu(x)достаточно гладкая функция. Используя форму-лу (5.3) для аппроксимацииu′′(xi), придем к приближенным равен-ствам−u¯x x(xi) +q(xi)u(xi)≈f(xi),i= 1, . . . , n−1.Приближениеyiкu(xi)будем искать из равенств−yi−1−2yi+yi+1h2+q(xi)yi=f(xi),i= 1, . . . , n−1.Умножим обе части этих соотношений наh2и приведем подобныечлены. Присоединяя к ним краевые условияy0=ua,yn=ub, придемк дискретной задаче, которая называется конечно-разностной схемой:найтиy= (y0, y1, . . . , yn)Tиз системы алгебраических уравненийy0=ua,−yi−1+(2 +h2q(xi))yi−yi+1=h2f(xi),i= 1, . . . , n−1,(5.4)yn=ub.МатрицаAnэтой системы имеет специальный вид: ее ненулевые эле-менты расположены лишь на трех диагоналях. Такие матрицы на-зываются трехдиагональными. Известно, чтоAnесть положительноопределенная матрица, еслиq(x)>0на[a, b]. В этом случае систе-ма (5.4) однозначно разрешима.ВеличинаE=maxi=0, . . . ,N|u(xi)−yi|определяет максимальную по-грешность приближенного решения задачи. Для достаточно гладкихданныхq(x)иf(x)для нее известна оценкаE6C h2, где постоян-наяCне зависит отh. Следовательно, уменьшая шаг сеткиh(т. е.увеличивая число точек сеткиnи размерность решаемой системыуравнений) мы можем добиться сколь угодно малой погрешности при-ближенного решения.

Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Основы численных методов линейной алгебры (автор Рафаил Даутов, Михаил Карчевский)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!