Дискретная математика

- 41 -Глава 1. Множества и отношениямножества и обозначается f(Q). В свою очередь, для каждого множе-ства R из Y определяется его полный прообраз f-1(R) как совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат R.Основные свойства отображений выражаются соотношениями:f-1( А ∪В) = f-1 (A) ∪ f-1 (В); f-1 (A ∩В) = f-1 (А)∩ f-1(B); f(A ∪ В)= f(A) ∪ f(B). Образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пе-ресечением их образов. Но можно показать, что f(A ∩В) ⊂ f(A) ∩ f(B).2. Операции над отображениями Сужение и продолжение функции. Пусть функция f : Х → Y опреде-лена на множестве X, а f1 — на множестве Q ⊂X, причем для каждого х ∈Q значения функций f и f1 совпадают. Тогда f1 называют ограничени-ем (сужением) функции f на Q, a f – продолжением функции f1 на X.Например, функция f(x) = х3 (другая запись х→ х3), определенная на множестве действительных чисел R, отображает это множество на себя. Если ограничить область определения этой функции множе-ством целых чисел Z, то получим сужение f1(x) функции f(x) на Z, причем f1(x) отображает множество Z в Z (а не на Z), так как не всякое число является кубом целого числа.Композиция отображений. Если f : Х→Y и g : Y→Z, то их компо-зиция (gof) : Х→Z, причем (gof)(x) = g(f(x)). Пусть, например, f = sin, g=ln; тогда (gоf)(x) = (ln ° sin)x = ln sin x. Проиллюстрируем введенные понятия на функциях, определен-ных на числовых множествах, элементами которых являются дей-ствительные числа. Такая функция каждому числу х из области опре-деления ставит в соответствие число у = f(x) из области ее значений. Иначе говоря, числовая функция f определяется множеством упоря-доченных пар чисел (х, у)∈ f.На геометрическом языке множеству действительных чисел соот-ветствует множество точек прямой (числовой оси). Пары чисел (х, у) представляются в декартовой системе координат точками плоскости с координатами х∈Х и у∈Y, причем первая координата х — абсцисса, а вторая у — ордината точки. Числовые оси,...