Основания дифференциальной геометрии

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 33 л-мерном пространстве, мы можем получить два различных метрических пространства. Два пространства U и V эквивалентны, если существует взаимно-однозначное соответствие P—»-Q между точками [Р] пространства U и точками [Q] пространства V, устанавли­вающее взаимно-однозначное же соответствие1 между всеми свойствами, составляющими структуру U1 и всеми свойствами, составляющими структуру V\ Эти два пространства обладают одной и той же геометрией, ибо каждое утверждение, которое может быть высказано относительно структуры Ui перево­дится, при соответствии P—• Q1 в утверждение относительно структуры V. Два эквивалентных пространства могут быть названы также изоморфными, а преобразование одного из них в другое — изоморфизмом. В частности, если U= V, преобразование P—•Q, переводящее U в самое себя, называется автоморфиз­мом пространства U. § 2. Группы преобразований. Имеется важный класс гео­метрий, каждая из которых может быть рассматриваема как теория группы преобразований. Группа есть множество эле­ментов, удовлетворяющих следующим условиям: (I) С каждой упорядоченной парой элементов а, Ь связан элемент с; мы пишем с = ab. 1 Например, если U и V—метрические пространства, соот­ветствие P—*Q преобразует U b V b том и только в том случае, если для каждой пары точек P и PR из U где P—^QT PT—•Q', a δ {QT QT)— функция расстояния для V. В качестве другого примера рассмотрим арифметическое про­странство одного измерения. Точками этого пространства пусть будут Действительные числа, а структурой его — зависимости между любыми двумя числами и их произведением. Преобразование x—->f(x) множества действительных чисел самого в себя сохра­няет эту структуру' тогда и только тогда, когда функция j(х) удовлетворяет условиям (11.4) гл. I . Следовательно, группа авто­морфизмов (см. ниже, § 3) нашего пространства сводится к тож­деству. Это неверно для множества комплексных чисел,_ так как здесь автоморфизмом будет также и преобразование г—*z,...