Пространство Лобачевского-Болье

— 30 — намъ треугольника, проходящимъ черезъ ихъ средины; она же находится на одинаковыхъ разотояшяхъ отъ вершинъ А, Б и С (ибо доказано, что ААЪ = ББг = ССг). § 3 0 . Теорема. Если изъ трехъ перпендикуляровъ, возставленныхъ изъ срединъ сторонъ треугольника къ этимъ сторонамъ, два перпенди­куляра параллельны, то и вей три параллельны между собой по одному и тому же направленш. Доказательство. Разсматриваемые перпендикуляры обозначимъ циф­рами ( I ) , ( I I ) , ( I I I ) . Предположимъ, что прямыя ( I ) и ( I I ) параллельны между собой; въ такомъ случай прямая ( I I I ) не можетъ пересечься ни съ прямой ( I ) , ни съ прямой ( I I ) , иначе все три ттрямыя (I), ( I I ) , ( I I I ) пересекались бы въ одной точке (§ 28) и прямыя (I) и ( I I ) не были бы параллельны. Такъ же точно прямая ( I I I ) не можетъ иметь общаго перпендику­ляра ни съ одной изъ прямыхъ (I) и ( I I ) , иначе все три прямыя имели бы общш перпендикуляръ (§ 29), и образовался бы прямой уголъ парал­лельности. Такъ какъ всягия две прямыя на плоскости либо пересека­ются, либо параллельны, либо имеютъ общш перпендикуляръ какъ не­пересекающаяся и непараллельный (§ 20), то з а о ю ч а е м ъ , что прямая ( I I I ) параллельна съ каждой изъ прямыхъ (I) и ( I I ) !) . Однако можетъ слу­читься, что прямая ( I I I ) параллельна съ прямыми ( I ) и (II) въ разныхъ своихъ направлешяхъ. Остается показать, что этого быть не можетъ 2) . Докажемъ предварительно, что во всякомъ треугольнике прямыя (I), ( I I ) и ( I I I ) пересекаюсь наибольшую сторону треугольника или сторону не меньшую, чемъ остальныя две. Пусть ОК (чер. 31) есть перпендикуляръ къ стороне АС, проходящШ черезъ ея средину О, въ какомъ нибудь треугольнике АБС. Эта прямая ОК где-нибудь вновь пересекаешь пе-г) Ибо доказано, что каждая пара прямыхъ ( I I I ) , ( I ) и ( I I I ) , ( I I ) не пересекается и не имт>етъ общаго перпендикуляра. 2) Въ плоскости Лобачевскаго возможна система трехъ прямыхъ. которыя хотя попарно и пар...