Очерк основных понятий топологии

Чтобы убедиться, что такую систему разрезов можно провести, будем проводить их последовательно; простые рассуждения пока­зывают, что после, проведения каждого из разрезов .поверхность остается связной, следовательно, можно провести следующий раз-грез, не пересекая предыдущих (возможно, что при этом придется перейти к более мелкой триангуляции, для чего можно восполь­зоваться правильным подразделением). После проведения всех раз­резов γρ· - . , L- F1 обратится в поверхность F* с одним краем; каж­дый из замкнутых полигонов Ci превратится в незамкнутый простой полигон с*, а каждый разрез γ , превратится в два куска: γ* и *γ.. Так как F1 простая поверхность, то F1 также 1 простая, следовательно, по предыдущей тео­реме F1 гомеоморфна кругу; ее граница со­стоит из Sr звеньев: Y l ) > Y i i · · · ) Yrу Cr·, Y,.j соторые образуют простой полигонГх(черт. 10). То же и в том же порядке можно проде­лать и над Fr Пусть при этом возникает Fi с краем Га. Тогда поверхности F* и Fl могут быть отображены друг на друга так, Черт. 10 чтобы соответственные вершины полигонов T1 и Г2 отвечали друг другу, соответственные звенья были отобра* жены пропорционально длине. Такое отображение строим, распро­страняя указанчое отображение краев на самые поверхности FJ и FJ (см. лемму). Легко видеть, что при этом получается тополо­гическое соответствие и первоначальных поверхностей F1 и Fili ч*. и тр. д. Мы; приходим к топологической классификации простых поверх­ностей. Две простые поверхности гомеоморфны Тогда и только тогда, если их края состоят из одного и того же числа кусков: число г компонент края полностью характеризует топологический тип простой поверхности. В качестве постоянного представителя этого типа мы выберем сферу с г круглыми «дырами» (т. е. сферу, от которой отсечено г сферических сегментов). Каждая простая поверхность с точки зрения топологии может быть реализована в такой форме, это — «нормальная форма» простой поверхности. В заключение подсчитаем Euler'oBy характер...