Аналитическая геометрия

30 ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ г л . V I нарных плоскости П. Пусть М (ху у, z)— произвольная точка. —* -Вектор MQM компланарен с векторами а и Ь в том и только в том случае, если точка М принадлежит плоскости П . Вспоминая условие компланарности трех векторов (см. п° 4 § 18), получаем для рас­сматриваемой плоскости П уравнение х — х0у— у0 z — z0 а5 0. (2) Его можно записать также (раскрывая определитель по элементам первой строки) в виде а2 а3 К bo ( * — *о) + д3 at (У —Уо) + аг а2 bi bn (z — z0) = 0. Это — действительно уравнение первой (а не нулевой) степени, так как, по крайней мере, один из коэффициентов as ах а2 ь3 » bs bx У Ь1 Ь2 отличен от нуля (векторы о и Ь, по предположению, неколлинеарны). Таким образом, мы заново доказали первую часть теоремы § 125, утверждающую, что всякая плоскость выражается уравнением первого порядка. Второй части этой теоремы, утверждающей, что, и обратно, всякое уравнение первого порядка выражает плоскость, тоже можно дать теперь новое доказательство. А именно, пусть дано уравнение первоко порядка Ax-\-By + Cz-\-D = 0. (3) По предположению, один, по крайней мере, из коэффициентов Л , В, С отличен от нуля. Пусть, например, СфО. Умножая тогда уравне­ние (3) на С, получим эквивалентное уравнение, которое можно пред­ставить в виде х у С 0 0 С Z + C — А — В = 0. Сравнение с формулой (2) показывает, что уравнение (3) (где СфО) выражает плоскость, проходящую через точку М0(о, 0 , — ^ п а р а л ­лельно векторам а ( С , 0, — Л ) и Ь ( 0 , С , — В ) . Векторы а и Ь, оче­видно, неколлинеарны.