Наглядная геометрия

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПОДЭРЫ 31 точке B1 а прямая F2F ' пересекает £ в точке ß. Тогда F1B==FB и, следовательно, F1B+ BFt-FFi. Н о так как точки M и С суть середины отрезков F1Fi и F1F, то имеем: FFt = 2СAU Обозначив радиус круга через г, получаем соотношение: BF1 + BFt = 2г. Следовательно, точка В лежит на эллипсе с фокусами в точках F1 и Ft и с большой осью 2г. Остается еще показать, что прямая t касается эллипса в точке В. Это следует из показанного на стр. 10 свойства Черт. 34. Черт. 35. углов, образуемых касательной к эллипсу с его радиусами-векторами, проведенными в ю ч к у касания. Именно, у нас по построению ^CBF1 = = CBF. Взяв точки Bt1 С и Fi мы проведем совершенно аналогично доказательства для прямой f. Доказательство для гиперболы можно усмотреть из черт. 34. Построе­ние на этом чертеже отличается от черт. 33 только тем, что точка F1 взята вне круга. В этом случае точки В и Bt описывают две различ­ные ветви гиперболы. Здесь мы имеем: F1Fi^r=BFi-BF1 и FFi = 2г =BFx- BFv Для параболы приходится несколько гидоизменить доказательство. Именно, если в этом случае точки CHFH прямая / (черт. 35) по­строены аналогично предыдущим двум построениям, то нужно опустить перпендикуляр из точки F на прямую g. Пусть В есть точка пересече­ния этого перпендикуляра с прямой г. Тогда будем иметь: BF1 = BF. Н о здесь точка F описывает прямую Л, построенную так, как было указано выше * ) . 1) В случаях построения эллипса и гиперболы точка P описывает окружность с цевтро л в F2 вдвое большую, чем взятая первоначально окружность; их центр подобия лежит в точке F1. Это следует из условий: FF% = 2CM и FFX = 2CFV