Введение в теорию интегралов Фурье

30 С Х О Д И М О С Т Ь И С У М М И Р У Е М О С Т Ь [гл. I риодична ( с периодом a) и интегрируема на интервале, равном по длине ее периоду. Пусть f (t) в окрестности точки t = x удовлетворяет усло-виютеоремы 3 или 4. Тогда для функции f (x) верна формула Фурье в следующем смысле: — — = Σ 1 du f (t)cos u(x — t) dt. 2 n=o —2πη/α J—•—oo Д о к а з а т е л ь с т в о . Если g(t) монотонно убывает, то *{n+1)a If (t)l d t = ί (n+1)a lg(t)h(t)l d t < 1+1 < Г,аш dt = , na 1+ t J g(na) f{ п+1 ) а 1 1 / Л 1 1 „ g(na) „ fn a g(t) , < — l h ( t ) l dt<K——J-<κ 2^2-Ldt. 1+ naJna 1+ na J(n—1)a 1+1 Э т о показывает, ч т о f+ t G L(—oo, oo). Тогда, так ж е , как и в теоре­ме 5, = — / [—b1(u)cos xu + a1(u)sin xu] du, 2x 1 Jo где a1(u), b1(u) определены, соответственно, формулами (1.9.4), (1.9.5). Далее, c(v+1)a Σ [ h(x)eixy dx = J " / h(x)ei(va+x)y dx = ν=τη-'να v=m-'o eimay _ ei(n+1)ay l-a, = 1 J h(x)eixy dx, последнее же выражение ограничено во всяком интервале, не содержа¬щем ни вн интегралы щем ни внутри, ни на концах, точек y = 0, ± , ±4^ , ... П о э т о м у fX2 cos / h(x) xy dx Jx1 s i n о г р а н и ч е н ы д л я всех x1 и x2 в л ю б о м указанном интервале значений y. Из второй т е о р е м ы о среднем значении следует тогда, ч т о интегралы — / g(x)h(x) , xy dx J—>—oo sin в к а ж д о м таком интервале равномерно сходятся; пусть a(y), b(y) — их значения. Функции a1( y) , b1( y) я в л я ю т с я интегралами от a(y), b( y) внут¬ри указанных интервалов, и