Московские математические олимпиады 1935 и 1936 гг.

редина гипотенузы находится на постоянном расстоя­нии от точки О , — на окружности, радиуса равного половине гипотенузы, с центром в точке О. Так как МО = MB = MC = MA, то четыре точки О, Af Bf С лежат на одной окружности с центром в М. Углы ABC и AOC равны, как вписанные в одну и чу же окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, геометрическое место точки С состоит из точек прямой ОС, наклоненной к прямой OA под углом, равным одному из острых углов тре­угольника ABC. Но не все точки этой прямой принад­лежат искомому геометрическому месту. Именно, из неравенства ОС OM-\-MC ~ AB следует, что иско­мое геометрическое место состоит лишь из тех точек прямой ОС, которые лежат от точки О на расстоянии, не превышающем длины гипотенузы треугольника О ABC. /К 20. Трехгранная пира- / / 1 \ мида ABCD имеет пря- / / 1 \ мой трехгранный угол A. / N C 1 \ Показать, что перпенди- / / 4S41 куляр, опущенный из вер- / JiL~c^^\\ \ шины А на плоскость /\ BCD, nadarm в точку пе- ß^^^ ^ \ i ^ ^ i s \ ресечения высот тре- ~ f угольника BCD. Черт. 7. Р Е Ш Е Н И Е . Пусть AE—перпендикуляр, опу­щенный из точки А на плоскость BCD. Проведем пло­скость через прямые AD и AE. Эта плоскость перпенди­кулярна к плоскости ABCi так как она проходит через перпендикуляр AD к плоскости ABC. В то же время она перпендикулярна и к плоскости BCDt так как она Sl