Асимптотические законы теории вероятностей

3, ОБОБЩЕННАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА 31 и, следовательно, + М = - 1щit) + х «4. , (Q + о(1) и в пределе при It —* 0 (0 = w4_1( / ) - w4( / ) ( * > 0 ) . Решение этого разностно-диференциального уравнения получится проще всего, если положить wk(t) = e'uuh(t) ( * > 0 ) , что приводит к «;(o==xirM(o (*>о). Так как при £ > 0 будем иметь uk(0) =wk(0) = 0, то, следова­тельно, "*(9 = >-W*-,(*)<*s. (4) 6 Но Щ ( 0 = / ( 0 = "о ( 0 = « " Щ ( 0 = 1 -Поэтому при помощи индукции из (4) получаем: и, следовательно, в интервале времени £ получается, таким образом, пуассоновское распределение с математическим ожиданием Хг. 3. ОБОБЩЕННАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА 5. Проблема Бернулли есть самый элементарный частный слу­чай общей постановки вопроса Чебышева о законе распределения сумм большого количества случайных величин. В первой главе мы занимались лапласовской предельной теоремой непосредственно как общей проблемой и только потом выделили классический случай Вернулли-Лапласа. Для предельной теоремы Пуассона мы выбрали как раз обратный пут£, так как эти вещи матема­тически хотя и гораздо проще, но менее известны. Теперь .перейдем к общей постановке вопроса.