Курс математического анализа для втузов

ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ 29 Придадим z з н а ч е н и я . . . , — З / z , —2/г, — Л , 0 , ft, 2й, З А , . . . , гдеЛ какое-нибудь п о л о ж и т е л ь н о е число. Сеть кривых функции f(x,y) д л я этих значений z назовем равномерной (чем меньше А, тем л у ч ш е равномерная с е т ь изображает функцию). В т е х участках п л о с к о с т и хОу, г д е линии у р о в н я равномерной с е т и сгущаются, ф у н к ц и я изменяется „ б ы с т р о " , а в тех, где они разрежаются, ф у н к ц и я изменяется „медленно". Действительно, в первом случае „ н е б о л ь ш о м у " , а во втором „большому* перемещению точки Р(х,у) с о о т в е т с т в у е т изменение функции на одну и ту же вели­чину Л. Таким образом, г у с т о т а линии равномерной сети может в известном смысле с л у ж и т ь мерой изменения функции (мерой п о д ъ е м а поверхности z=f{x, у)). Р а с с м о т р и м н е к о т о р ы е п р и м е р ы . 1) Р а в н о м е р н о й сетью ф у н к ц и и z = x--\-y2 ( п а р а б о л о и д в р а щ е н и я ) служит с и с т е м а к о н ц е н т р и ч е с к и х о к р у ж н о с т е й с центром в т о ч к е Р ( 0 , 0 ) и точка Р(0,0) {черт. 12). Ч е р т . 12. Черт. 13. 2) Л и н и я м и у р о в н я ф у н к ц и и z = ху ( г и п е р б о л и ч е с к и й п а р а б о л о и д ) служат р а в н о б о ч н ы е гипег.болы и оси Ох и Оу ( ч е р т . 13). Н а п о м н и м , что мы у ж е имели с л у ч а й , когда и з у ч е н и е функциональной з а в и с и м о с т и м е ж д у т р е м я п е р е м е н н ы м и п р и в о д и л о с ь нами к и з у ч е н и ю лииий у р о в н я . И м е н н о , в г л . V I , § 2, п5 4, 111 мы р а с с м о т р е л и у р а в н е н и е Еан-дер-В а а л ь с а ( * + £ ) ( * > - * ) • = Я Г п р и р а з л и ч н ы х п о с т о я н н ы х т е м п е р а т у р а х Т. Исследовав п о л у ч а ю щ и е с я т р и э т о м з а в и с и м о с т и м е ж д у р и v, м ы нанесли с о о т в е т с т в у ю щ и е им г р а ф и к и и п о л у ч и л и с и с т е м у лин...