Линейные алгебры

Соответствующая проблема для 4, 5, 6 единиц уже разо­брана 21. Приводимые линейные ассоциативные алгебры с мо­дулем. Линейная ассоциативная алгебра А с п .единицами над полёк F и с модулем е называется приводимой2 относительно £ , если содержит p-\-q = n чисел ех,... ,ёр\ Е1$ ...,Eg, линейно-независимых относительно F, так что efE, = 0, £ ^ = 0 ( * = 1 , . / = ! . . . . , ? ) . (50) Всякое число из А — линейная комбинация из е и Е. Пусть мо­дулем является г — е-\~Е, где е — линейная функция от ev.. *, ер, и Е — от Elt. .., Eg. Если х.— какая - 'нибудь линейная функ­ция orely...t ер с коэфициентами в F, то х=*х& = хе, так как JC£ = 0 и х — гх — ех, Аналогично, если X—некоторая линей­ная функция от Е х ,E g , то EX— ХЕ — Х. Затем хгх2 = х-\-Х9 где хх и х2—некоторые линеййые функции от elf...,ep. Умно­жим на Е справа. Получим 0 = X. Следовательно3 произведение всяких двух х — снова х. Также произведение всяких двух X «есть X. Значит числа х образуют под-алгебру s — (eu.. .,ер) с модулем е, и числа X образуют под-алгебру S = (EV . , Eq) с модулем £ . Об алгебре А говорят, что она разложима на s и S, она называется их прямой4 суммой : A = s + 5 = 5 + s. Обратно, из всяких двух линейных (ассоциативных) алгебр { ех,ер) и ( £1 ( . ..,£<?) над F с модулями е и Е, мы получаем линейную (ассоциативную) алгебру ( £1 з. . . ,Ёд) над F с модулем е~\-Е, постулируя соотношения (50) и принимая во внимание, что eh...,E линейно-независимы относительно /\ Шефферс дал следующий критерий для приводимости: Ли­нейная ассоциативная алгебра А с модулем s приводима тогда и только тМда, когда содержит кисло а такое, кто е%~е ех = хе для всякого числа х из А, Что эти условия необходимы, было доказано выше. Что они достаточны, доказывается, положив £ = © — е и показав, что A = s + S, где s доставлено*из всех произведений хег и S из * Encyc. Sc. Math, том I, 1, стр. 4 0 1 — 4 0 3 . Для неприводимых алгебр с шестью единицами смотри Вогера (G. Vogkefa), Denkschr. Ak. Wiss. Wien, т...