Однозначные аналитические функции

30 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [гл. I» ного числа точек. Решая с помощью интеграла Пуассона полученную краевую задачу для круга и переходя посредством отображения обратно к области G, мы получим функцию и (г), гармони­ческую в О и принимающую на Г заданные краевые значения Гармоничность функции и (z) следует из инвариантности этого свой­ства относительно конформных отображений. 20. Чтобы решить поставленную краевую задачу для общего случая, когда граница области G состоит из нескольких различных жордановых кривых 1 \ , . . , Гр, мы воспользуемся рассмотренным в гл. I , § 4 конформным отображением универсальной поверхности наложения многосвязной области G на единичный круг К- Это отображение достигается линейно-полиморфной функцией х = х(г), притом так, что каждой кривой Гу соответствует в случае р = 2 единственная граничная дуга ^ , а в случае / > > 2 — бесконечная последовательность открытых непересекающихся дуг ТЛ • единичной окружности = 1 (ср. и. 15); соответствие между кри­вой 1 \ и всяким ее образом ?ч* взаимно однозначно и непрерывно. Определим теперь на дугах 7,* множество краевых значений и (£), полагая и (£) = «(С), где 5 — точка дуги однозначно соответ­ствующая точке С дуги 1\. Если дополнить определение и(£), полагая и = 0 в точках единичной окружности | £ | = 1, не принадлежащих ни к одной из открытых дуг 1гЛ то можно воспользоваться инте­гралом Пуассона (х = ге*** £ = е*&) 2* О Подинтегральная функция а (е^) имеет вообще довольно сложный характер разрывности; тем не менее интеграл имеет смысл (даже как интеграл Коши), так как ег"о можно представить в виде сходя­щегося ряда интегралов, взятых по отдельным дугам хЛ Этот ряд, как легко видеть, сходится абсолютно и равномерно во всякой внутренней области круга К и, следовательно, его сумма и является, по теореме Вейерштрасса (Weierstrass) о рядах, гармонической функцией в круге /С При приближении к произвольной точке некоторой дуги явля ощейся точкой непрерывности множества граничных зна...