Введение в тензорное исчисление

но следовательно, что и требовалось доказать. В дальнейшем будем рассматривать преимущественно квад­ратные матрицы, т. е. такие матрицы, в которых число верти­калей равно числу горизонталей. * Квадратную матрицу А будем называть симетржеской, если А = А ' , т. е . если Особую- роль будут играть так называемые матрицы ноль и единица. Матрицей ноль (ее обозначение—О) будем называть квадратную матрицу, все элементы которой равны нолю. Матри- • цей единица (ее обозначение—Е) будем называть такую квад­ратную матрицу, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нолю, т. е. 1, ( і - Л 0. (іф/). Матрицы О и £ обладают следующими важными свойствами, в которых можно без труда убедиться: А + О - А , А-Е=Е-А=А, А-0=0-А=*0. Определитель, составленный из данной квадратной ма­трицы А, будем обозначать символом det А. Тогда, очевидно d e t O ~ 0 , d e t £ « l . На основании известных теорем теории определителей мо­жем написать: detА' = det А , det(AB).=detA-detB. Матрицу А будем называть особенной тогда (и только тогда), когда ее' детерминант равен нолю: detA = 0. Докажем теперь следующую лемму: Л е м м а . Если А и 5 — д в е данные (однотипные, квадратные) матрицы, из которых Ане ест.ь особенная матрица, то существует: одна и только одна матрица Х> обладающая тем свойством, что (1) А . Х - В . 28