Математический анализ

Содержание книги "Математический анализ"

ПРЕДИСЛОВИЕ
Тема 1. МНОЖЕСТВА
1.1. Понятие множества. Способы задания множеств
1.2. Операции над множествами
1.3. Числовые множества
1.4. Точная верхняя и точная нижняя грани множества
1.5. Абсолютная величина действительного числа
Тема 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2.1. Понятие числовой последовательности
2.2. Предел последовательности
2.3. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности (критерий Вейерштрасса)
2.4. Число е (второй замечательный предел)
2.5. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) последовательности
2.6. Арифметические операции с пределами
2.7. Раскрытие неопределенностей
2.8. Теорема о «зажатой» последовательности
2.9. Лемма о вложенных отрезках
2.10. Лемма Больцано—Вейерштрасса
Тема 3. ФУНКЦИЯ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
3.1. Понятие функции. Основные свойства функций
3.2. Классификация функций
3.3. Преобразование графиков функций
Тема 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
4.1. Понятие предела функции
4.2. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции
4.3. Основные теоремы о пределах
4.4. Непрерывность функции
4.5. Замечательные пределы
Тема 5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
5.1. Понятие производной
5.2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
5.3. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой
5.4. Механический смысл производной
5.5. Основные правила дифференцирования функций
5.6. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций
5.7. Производные высших порядков
Тема 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
6.1. Понятие дифференциала функции
6.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
6.3. Понятие о дифференциалах высших порядков
Тема 7. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1. Теорема Ферма
7.2. Теорема Ролля
7.3. Теорема Коши
7.4. Теорема Лагранжа
7.5. Правило Лопиталя
Тема 8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
8.1. Формула Тейлора для многочлена
8.2. Формула Тейлора для функции
8.3. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора
8.4. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях
8.5. Применение формулы Тейлора для вычисления пределов
Тема 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
9.1. Возрастание и убывание функций
9.2. Условия экстремума функций
9.3. Выпуклость и вогнутость графика функции
9.4. Точки перегиба
9.5. Асимптоты графика функции
9.6. Общая схема исследования функций и построения их графиков
Тема 10. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
10.1. Область определения, линии и поверхности уровня
10.2. Частные производные и дифференциал первого порядка
10.3. Производная по направлению. Градиент
10.4. Экстремум функции нескольких переменных
10.5. Условный экстремум
Тема 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
11.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
11.2. Свойства неопределенного интеграла, таблица интегралов простейших элементарных функций
11.3. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента
11.4. Методы интегрирования функций
Тема 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
12.1. Понятие определенного интеграла
12.2. Свойства определенного интеграла
12.3. Теорема о среднем
12.4. Производная интеграла по верхнему пределу
12.5. Формула Ньютона—Лейбница
12.6. Геометрические приложения определенного интеграла
12.7. Несобственные интегралы
Тема 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
13.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
13.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
13.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Тема 14. РЯДЫ
14.1. Числовые ряды
14.2. Степенные ряды
ЛИТЕРАТУРА