Задача обоснования геометрии в современной постановке

31 только и есть число. Это свойство движенія выражаютъ такъ: при сопряженіяхъ, устанавливаемыхъ движеніемъ, каждая пара точекъ имѣетъ ч и с л е н н ы й и н в а р і а н т ъ , и этой системой инваріан-товъ, этой системой разстояній исчерпываются всѣ неизмѣняемыя при движеиіи свойства образовъ. Въ третьихъ, каждое тѣло можетъ быть въ пространствѣ перенесено изъ одного положенія въ другое, т. е. въ пространствѣ существуетъ безчисленное множество различныхъ преобразованій. Но если есть движеніе, которое совмѣщаетъ тѣло А съ тѣломъ В, а затѣмъ другое движеніе совмѣщаетъ тѣло В съ тѣломъ С, то существуетъ третье движеніе. которое совмѣщаетъ тѣло А съ тѣломъ С Иными словами, совокупность тѣхъ преобразованій, который составляютъ систему движеній въ пространствѣ, обладаетъ тѣмъ свойствомъ. что каждымъ двумъ преобразованіямъ этой совокуп­ности всегда отвѣчаетъ третье, замѣняющее послѣдовательное про­странство первыхъ двухъ преобразованій. Это свойство системы преобразованій очень часто встрѣчается въ математикѣ помимо движеній и характеризуется терминомъ: г р у п п а преобразованій. Итакъ, с и с т е м а д в и ж е н і й в ъ п р о с т р а н с т в ѣ е с т ь г р у п п а е о в е р ш е п н ы х ъ п р е о б р а з о в а н і й , в ъ к о т о ­р о й д в ѣ и т о л ь к о д в ѣ т о ч к и и м ѣ ю т ъ и н в а р і а н т ъ и п р и т о м ъ т о л ь к о о д и н ъ . "Это единственный общія свойства двюкеній, который нужны геометру и который нисколько не связаны съ тѣми реальными представленіями. какія съ эмпирическимъ движеніемъ соединяются-Ятя (Ьопмулировка принадлежите Оофусу Ли. Выясненію этихъ геометрическихъ свойствъ движенія, быть можетъ, болѣе трудныхъ и неясныхъ работъ Римана и Гельмгольца, содѣйство-вала удивительно талантливая по своей простотѣ и изяществу интерпретация геометріи, указанная Клейномъ. Исходя изъ работы Кели, также довольно туманной по своему содержанію, и прини­мая за движенія совокупность ироективныхъ преобразованы, не мѣняющихъ нѣкоторой поверхност...