Лекции по Теории чисел

О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ3 1§ 1 5 ]§ 1 4.Вышеприведенное доказательство этого важного свойства функции у (jri) получается непосредственно из определения этой последней и не требует предварительного определения вида самой функции <р(т) *). Будет, однако, нелишним дать другое доказательство для того же свойства, опирающееся на известное уже нам выражение о (т) и на следствия, из этого выражения вытекающие.Всякий делитель п числат — . . .имеет видп — а Ьр с' . .где а, b, с , . . . означают, как и прежде, различные простые числа. Так. как числа а*’, Ь^\ , . . . — взаимно простые, то9 (ri) = 9 (а* ) © ) 9 (£г ) . . .Чтобы найти все делители п числа т, нужноaf дать значения 0, 1, 2, . . . , а,Г » « 0, 1, 2, . . . , ß,к' >, » 0, 1, 2, . . . ,и т. д.Если мы возьмем сумму всех значений ср (п), то, очевидно, эта сумма* нравна произведению следующих сумм:? ( i ) + ? ( ü) + ? ( fl2) + • • • + ?(< **)>< ?(!) + ? ( £ ) + ? (^2) + • • • + ? (5 Р).? (1 ) 4 - ® ( < 0 + ? ( с2) + • • • + ? ( с т)>и т. д.Но первая из них равна1 —J— (и — 1 ) -j— (а — 1 ) а —|— •. . —{— (а — 1) <х = 1 -{— (ci — 1 ) = cl вторая равна третья равна с{ и т. д. Следовательно2 ? (п) = cffic*. #. = т,что и требовалось доказать.§ 15.Мы переходим теперь к вопросу, решение которого доставляет чисто арифметическое доказательство одной теоремы, доказываемой обыкновенно при помощи других соображений. Вопрос заключаетсяА) Обратно, это свойство вполне определяет функцию <р (т), так что выра­жение самой функции (§ 11) может быть выведено из этого ее свойства; см. дополнение VII, § 138.