Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга

в п л о с к о с т и д а н н е к о т о р ы й к в а д р а т , т о В Е с л и м о ж н о : a) на д а н н у ю п р я м у ю и з н е к о т о р о й д а н н о й т о ч ­к и о п у с т и т ь п е р п е н д и к у л я р ; b) д а н н ы й п р я м о й у г о л р а з д е л и т ь п о п о л а м ; c) д а н н ы й у г о л у в е л и ч и т ь в п р о и з в о л ь н о е ч и с ­л о р а з . Пусть АВСО (черт. 11) данный квадрат, и Е точка пересече­ния его диагоналей АС, В У, т. е. центр квадрата. Если через центр проведем произвольную прямую GF, то легко найти такую прямую / / IK, которая перпендикулярна к ней в цент­ре Е. Именно, проведем из F прямую FH параллельно стороне ВС или AD (§ 6, Ш) и из точки Н, в которой она пересекается с стороной АВ, прямую HI параллельно диагонали АБС (§ 6, I ) ; тогда прямая IEK будет перпендикулярна к FEG. Действи­тельно, на основании этого построения, очевидно, FC = MB = BI и ВЕ = СЕ и ^_EBI = £ECF', следовательно, треуголь­ники EBI и ECF равны между собой, по­этому BEI = ^_ CEF и потому BEF = =»» £ IEF = прямому. Из равенства треугольников BEI и CEF следует далее, что EI = EF, поэтому тре­угольник IEF равнобедренный, так что пря­мая EL, которая делит пополам угол при вершине Е, будет перпендикулярна к осно­ванию IE; таким образом, этот угол (IFE) легко делится пополам. Действительно, про­ведем с этой целью EN параллельно IF и GK и, только что указанным способом, MEL к EN; тогда EL разделит пополам прямой угол IEF. Если теперь требуется на произвольную данную прямую gf из некоторой данной точки i опустить перпенди<уляр [а)], то прове­дем через центр Е прямую FG параллельно fg, затем прямую KEI перпендикулярно к FEQ и через данную точку i прямую U па­раллельно IEK (§ 6, I ) ; очевидно, задача решена. Ясно, что прием останется тот ж е , если требуется из точки е на данной прямой fg восставить к ней пэр.аендикуляр. Если, далее, требуется данный прямой угол fei разделить по­полам [Ь)], то проводим EF параллельно е / и El параллельно ei...