Основы теории функций вещественной переменной

soГлава I !приложениях часто оказывается полезной другая форма теоремы Больцано-Вейерштрасса, в которой речь идет не о м н о ж е с т в а х, а о ч и с л о в ы х п о-с л е д о в а т е л ь н о с т я х.Мы говорим, что имеем дело с числовой последовательностью-\Г|, Х*2 у Х%, ( * )если каждому п соотнесено опрчисло х' прразличные членыпоследовательности могутельностьбытравны друг другу. Такова, например, последоваО, 1, 0, 1, 0, 1, . . .Еслборассматривать ее как точечное множествомножествовух точек 0 и 1 последовательность жебПоследовательность (*) называется ограниченной, если существует такое числочтовсех п бу*Я\<КУпомянутая выше форма теоремы Б о л ь ц а н о-В е й е р ш т р а с с а такова:Теорема 2*. Из всякой ограниченной последовательности X'j, Хл, . . . можно выделить сходящуюся подпоследовательность Xnt>XntfXntf ' * * (П1 <^.n2<C.nZ<^it ' ') Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество Е членов последовательности (*).Если это множество конечно, то одна из его точек встречается в последователь-ности (*) бесконечно часто, пусть это точка Е и пустьXXПаXл3тогда последовательность {х Еслребуже указанное множество бесконечнокмуримБольцано-ВейерштрассаПух« есть точка сгущения множествама теорематогда извыделяется последовательностьхлц>Хт.уХт%>**ящаяся к точке х оричем*.члены ее, а тем болих индексы т. «о,/Ид, . . . , различныПоложим, п тЛ и назовем через пг первое из чисел тѵ тг, тг, ... , котороеокажется больше, чем пи затем назовем через пг первое из этих чисел, котороебольше, чем /я2, и т. д. В результате, мы получим последовательностьхп\> ^n%9 • ' ' с возрастающими индексами. Поскольку эта последовательность есть частичнаядля (*#), то ясно, что\lim х Теорема доказана.XQ.§ 2. ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВАДасгущенияопрецелого ряда понятий, тесно связанных с понятием точкиОпределения. Пусть Е точечное множество.1. Множество всех точек сгущения Е называется производным множеством для множества Е и обозначается через Е\ 2. Если E'czE, то множест...