Обратная математика
книга

Обратная математика : доказательства, вывернутые наизнанку

Автор: Джон Стилуэлл

Форматы: PDF

Издательство: ДМК Пресс

Год: 2021

Место издания: Москва

ISBN: 978-5-97060-888-3

Страниц: 199

Артикул: 99033

цена: 1299
Купить и скачать Читать фрагмент

Эта книга – первое изложение обратной математики для аудитории, состоящей из математиков общего профиля. Обратная математика – новая дисциплина, которая «выворачивает наизнанку» традиционную математическую логику: ее цель – не вывод теорем, а поиск аксиом, которые позволяют доказать известные теоремы. Джон Стилуэлл рассказывает о том, как найти «правильные» аксиомы для доказательства фундаментальных теорем. Придерживаясь исторического взгляда на обратную математику, он описывает два ставших возможными благодаря ей направления развития. Первое – проект арифметизации анализа, предпринятый в XIX веке с целью определить все понятия анализа в терминах натуральных чисел и их множеств. Второе – выполненная в XX веке арифметизация математической логики и понятия вычисления. Таким образом, арифметика в некотором смысле лежит в основе анализа, логики и вычислений. Обратная математика опирается на эту идею, рассматривая анализ как арифметику, дополненную аксиомами существования бесконечных множеств. Книга будет интересна как студентам старших курсов, так и специалистам, интересующимся основаниями математики.

Предисловие
Глава 1. Историческое введение
1.1. Евклид и аксиома параллельных
Аксиома параллельных
Эквиваленты аксиомы параллельных
1.2. Сферическая и неевклидова геометрия
Модели неевклидовой геометрии
Новые основания геометрии и математики
1.3. Векторная геометрия
Линейная геометрия Грассмана
Превращение векторного пространства в неевклидово
1.4. Аксиомы Гильберта
Алгебраическое содержание аксиом Гильберта
1.5. Полная упорядоченность и аксиома выбора
Несчетность
Полная упорядоченность
Теорема о полном упорядочении и аксиомы Цермело
Математический эквивалент аксиомы выбора
1.6. Логика и вычислимость
Арифметизация
Глава 2. Классическая арифметизация
2.1. От натуральных чисел к рациональным
Целые числа
Рациональные числа
Алгебраические свойства
2.2. От рациональных чисел к вещественным
Комплексные числа
2.3. Свойства полноты R
Последовательности вложенных отрезков
Критерий сходимости Коши
2.4. Функции и множества
Функции пересчета пар
Кодирование последовательностей и некоторых других функций
2.5. Непрерывные функции
Кодирование непрерывных функций рациональными интервалами
2.6. Аксиомы Пеано
Аксиомы следования
Аксиомы суммы и произведения
Индукция
Примеры доказательств по индукции
2.7. Язык PA
Упрощение связок
Предваренная форма
2.8. Арифметически определимые множества
Σ -свойства
2.9. Пределы арифметизации
Диагональный метод Кантора
Определимость и вычислимость
Глава 3. Классический анализ
3.1. Пределы
Пределы последовательностей
Пределы функций
Предельные точки множества
3.2. Алгебраические свойства пределов
3.3. Непрерывность и промежуточные значения
Основная теорема алгебры
3.4. Теорема Больцано–Вейерштрасса
3.5. Лемма Гейне–Бореля
3.6. Теорема о достижении экстремальных значений
3.7. Равномерная непрерывность
Интегрируемость по Риману
3.8. Канторово множество
3.9. Деревья в анализе
Арифметизация деревьев
Глава 4. Вычислимость
4.1. Вычислимость и тезис Чёрча
4.2. Проблема остановки
4.3. Эффективно перечислимые множества
4.4. Вычислимые последовательности в анализе
4.5. Вычислимое дерево, не имеющее вычислимых путей
4.6. Вычислимость и неполнота
4.7. Вычислимость и анализ
Конструктивные подходы к анализу
Глава 5. Арифметизация вычисления
5.1. Формальные системы
5.2. Элементарные формальные системы Смаллиана
Примеры систем аксиом
5.3. Нотация для положительных целых чисел
Универсальные элементарные формальные системы
5.4. Анализ вычисления, предпринятый Тьюрингом
От машин Тьюринга к элементарным формальным системам
5.5. Операции над ЭФС-порожденными множествами
5.6. Порождение Σ -множеств
5.7. ЭФС для Σ -отношений
Булевы комбинации равенств
Ограниченные кванторы
5.8. Арифметизация элементарных формальных систем
Слова и числа
Конечные последовательности
ЭФС-порожденные множества – то же, что Σ
5.9. Арифметизация эффективного перечисления
Арифметизация рекурсии
Эффективное перечисление
5.10. Арифметизация вычислимого анализа
Пример доказательства в RCA0
Минимальная модель RCA0
Глава 6. Арифметическое выделение
6.1. Система аксиом ACA0
Минимальная модель ACA0
6.2. Σ -выделение и арифметическое выделение
Σ -выделение и область значений функций
Индукция и системы более слабые, чем ACA0
6.3. Свойства полноты в ACA0
6.4. Арифметизация деревьев
6.5. Лемма Кёнига о бесконечном пути
6.6. Теория Рамсея
6.7. Некоторые результаты из математической логики
6.8. Арифметика Пеано в ACA0
Относительная непротиворечивость ACA0
Глава 7. Рекурсивное выделение
7.1. Система аксиом RCA0
7.2. Вещественные числа и непрерывные функции
7.3. Теорема о промежуточном значении
7.4. И снова о канторовом множестве
7.5. От леммы Гейне–Бореля к слабой лемме Кёнига
7.6. От слабой леммы Кёнига к лемме Гейне–Бореля
7.7. Равномерная непрерывность
7.8. От слабой леммы Кёнига к экстремальным значениям
7.9. Теоремы WKL0
Другие топологические теоремы
7.10. WKL0, ACA0 и далее
«Большая пятерка» систем
Теоремы Краскала и Робертсона–Сеймура
Глава 8. Более широкая картина
8.1. Конструктивная математика
8.2. Логика предикатов
8.3. Виды неполноты
8.4. Вычислимость
Степени неразрешимости
И арифметически определимые множества
Низкие степени
8.5. Теория множеств
АВ в элементарном анализе
8.6. Понятия «глубины»
Список литературы
Предметный указатель

Все отзывы о книге

Чтобы оставить отзыв, зарегистрируйтесь или войдите