Избранные математические развлечения

30 Г Л А В А I. РАЗВЛЕЧЕНИЯ: С КАРТАМИ. где величины £3, S4, ^ имеют для расположений I I L I Y и т. д. тот же смысл, как I1 для расположения I . Ив отих сравнений получаем С/; L1 = тк (mod. т п — 1). (1 • Если расположение к -\- 1 тождественно с расположением 1,то каждая карта после & раскладываний возвращается на преж­нее месго; иначе говоря, для всякой карты ^+ 1 = ^ . В част­ности для второй карты первого ряда H1 = ^1 = L Подстав­ляя эти величины в сравнение П ) , получаем «t* = I (mod. тп — 1). (2) Число раскладываний, необходимых для возвращения карт в первоначальное расположение, таким образом должно удо­влетворять этому сравнению. Обратно, предположим, что сравнение (2) удовлетворено; тогда на основании (1) имеем блн-i — 5i (mod. W i w - I j (3J для всякой карты. Мы покажем, что отсюда необходимо следует равенство Во-первых, из самого способа раскладки ясно, что первая и последняя карты всегда остаются на своих местах, так что для них равенство (4) оправдывается. Для всех осталь­ных карт всегда или I1 < w * или J1 < и и невозможно одно­временно I1=J1=I, но тогда и S1 и £№ оба положительны и меньше тп— 1. А при таких условиях сравнение (3) о необходимостью приводит к равенству (4). Итак, если к удовлетворяет сравнению (2j, то Л; —|— 1 •oo расположение карг тождественно с исходным п обратно. Отсюда уже очевидно, что наименьшее число раскладок, при­водящее карты в прежней порядок, действительно совпадает с показателем, к которому принадлежит т по модулю тп— 1.