Философия математики

Для введения траисфинитиых способов умозаключения мы нуждаемся в новом виде символов. Когда мы из какого-нибудь свойства схемы высказывания а (х) с одной переменной или пустым местом х (вроде: человек х подкупен) образуем высказывание: в с е л удовлетворяют вы­сказыванию а (х) (все люди подкупны), то мы фактически выполняем некоторое логическое действие, исключающее переменную х из формулы высказывания (,v после этого более заменить ничем нельзя). Подобное действие может быть названо и н т е г р и р о в а н и е м по х. В форма­лизованной математике этому действию будет соответствовать некоторый символ с индексом х. П р и этом трудность, связанная со свободным применением в содержательном анализе выражений „существует" и „все", формально преодолевается следующим образом. В качестве исходного пункта мы примем сначала старую, оспариваемую Б р о ­кером дилемму, согласно которой либо все люди подкупны либо существует по крайней мере один неподкупный человек; далее, если все люди подкупны, то мы условимся понимать под словом „Аристид" любого человека, в случае же обратном какого-либо из неподкупных людей. Как известно, согласно Броуеру, мы имеем право сделать вывод, что такой Аристид существует, только если мы су­меем сконструировать его, исходя из свойства подкупности. Вообразим же себе для этого некий божественный автомат, так устроенный, что если мы бросим в него формулу высказывания а (х) с одной пере­менной х, то он укажет нам на такого индивидуума тха} который (по отношению к свойству л:) может репрезентировать с о б о ю всех людей, причем репрезентировать он может их в силу того, что имеет силу следующее предложение, если э т о т индивидуум ixa обладает свойством а, то свойство а присуще всем людям. Символ zx при этом выражает собой интегрирование по х. Если бы мы имели в своем распоряжении подобный автомат, то он избавил бы нас от всех забот, но само с о б о ю разумеется, вера в его существование является чистейшей бессмыслицей. Математика, однако, посту...