Новая геометрия треугольника

делит его внутренним образом в том же отношении, в котором другая делит его внешним образом. АС Если отрезок А В разделен точкой С так, что - - * р (знак минус ВС показывает, что точка С лежит внутри А В), а точкой D разделен так, A D что ^ - = р (точка D лежит вне А В), то отрезок А В гармонически разделен точками С и D; точки С и D гармонически сопряжены относи­тельно точек А и В. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине треугольника делят противоположную сторону гармонически, так как первая из них делит сторону треугольника внутренним образом пропорционально при­лежащим сторонам,а вторая — внешним образом пропорционально тем же сторонам. Если отрезок А В разделен точками С и D гармонически, то (ABC) ^ = — (A8D), т. е. (АВС)__. (ABD) Задача. Показать, что точка, гармонически сопряженная середине отрезка, есть несобственная точка. 31. Теорема. Прямая Чевы и прямая, соединяющая основания двух дру­гих прямых Чевы, делят противоположную сторо­ну треугольника гармо­нически. Д о к а з а т е л ь с т ­в о . Пусть в треугольни­ке ABC (черт. 32) из вер­шин проведены прямые АА', ВВ', СС Прямая В*С продолжена до пе­ресечения в точке А" с прямой ВС. По теореме Чевы нмеем: (АСВ') (ВАС) (СБА , = — 1. По теореме Менелая имеем: (АСВ*) (ВАС) (СБА") =* I . Разделив последние равенства почленно, имеем: (СБА') Теорема доказана. 32. Задача. Даны на прямой точки А. В, С. Построить при помощи одной линейки точку, гармонически сопряжен­ную с точкой С относи­тельно точек А и В. 1-й с л у ч а й . Точ­ка С лежит внутри от­резка АВ (ч рт- 33). Соединяем произ­вольную точку D, лежа-(СВА") = — 1.