О линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях с правильными интегралами

— 1 0 — П о л у ч и т относительно г* линейное уравнеиіе, порядка п — 2 , вида ( І Г ) tt(n~15 -<- г, «t n~3 ) ч- . . . + гп_г и = 0 . В ъ это уравненіе нодставимъ и = их \vdx, г д ѣ их — какой и и -будь частный его интегралъ; въ полученное уравненіе относительно ѵ подставишь ѵ = ѵ, f*<jfo;r и т . д . , пока не дойдемъ до линейнаго уравнения перваго порядка, одинъ изъ интеграловъ котораго обозна­ч и л а черезъ и?,. п величивъ ( Ш ) y^y^yJs^yt—tfjvydA juldx,...ytt=y,j*xdx...jwldx будутъ интегралами уравненія ( I ) . Между этими п величинами линейной зависимости существовать не можетъ; въ самомъ дѣлѣ, допустим*, что СіУі •+• Cipljz1dx+... -+- Cnyti^dx ju.dx . . . J wxdx = 0. Сократив* это уравненіе па уи продиффѳренцируенъ по х; п о ­лу чимъ h z\ / и\ dx -*- • . - Cn2t I Щ • • . j ivld% = 0. Сокращая опять на гх и дифференцируя, получимъ Съих н - . . , -+- Спих Ji?!dx , . , \wxdx = 0. Продолжая ту же операцію, мы придемъ к ъ соотношенію Сп J и», dx = О, откуда Сп = 0 . И з ъ предшествующа™ равенства убѣдимсл, что C 'n_t= O f l T . д . ; окажется, что всѣ G—нули, Убѣдивпіись въ существовал]и одной независимой системы инте­граловъ уравненія ( I ) , мы можемъ показать, что ихъ будетъ множе­ство.