Читать фрагмент

книга

Интеграл Лебега и пространства Лебега

Учебное пособие посвящено изучению интеграла и пространств Лебега. Предназначено для студентов педагогических специальностей с профилями подготовки: «Математика и физика», «Физика и математика», «Математика и информатика».

Форматы: PDF

Издательство: Липецкий государственный педагогический университет им. П.П. Семенова-Тян-Шанского

Год: 2025

Место издания: Липецк

ISBN: 978-5-907989-37-5

Страниц: 79

Артикул: 118886

Возрастная маркировка: 16+

Электронная книга

154 ₽

Купить и скачать

Содержание

Содержание книги "Интеграл Лебега и пространства Лебега "

Предисловие

1. Мера Лебега

1.1. Необходимые определения из теории множеств

1.2. Внешняя и внутренняя меры

1.3. Измеримые по Лебегу множества

1.3.1. Критерий измеримости ограниченного множества

1.3.2. Свойства измеримых множеств и меры

1.4. Существование неизмеримого по Лебегу множества

2. Измеримые по Лебегу функции

2.1. Определение измеримых функций и их некоторые свойства 24

2.2. Теоремы об измеримых функциях

2.3. Последовательности измеримых функций

2.4. Теоремы Егорова и Лузина

2.5. Примеры измеримой и неизмеримой по Лебегу функций

3. Интеграл Лебега

3.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции

3.2. Основные свойства интеграла Лебега для ограниченых измеримых функций

3.3. Сравнение интегралов Римана и Лебега

3.4. Первообразная для ограниченной функции

3.5. Интеграл Лебега от произвольной неотрицательной измеримой функции

3.5.1. Свойства интеграла Лебега от произвольных неотрицательных измеримых функций

3.5.2. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

3.6. Интеграл Лебега от суммируемой функции

3.6.1. Свойства суммируемых функций и интегралов от них

3.7. Примеры вычисления интеграла Лебега

4. Пространства Лебега

4.1. Пространство L¹

4.2. Пространство L²

4.3. Пространство L^p, p ≥ 1

4.4. Пространство L∞

Библиографический список

Отрывок из книги

МножествоYоткрытое,Y ∈∆,∆\E⊂ Y. Справедлива оценкаµY ≤µY0+ε2< µ(∆\E) +ε .Очевидно, чтоF= ∆\Yсовпадает с[a, b]\Y= [a, b]∩CYи, соответ-ственно, является замкнутым, причемF ⊂E. ТогдаµF=l(∆)−µY> l(∆)−µ(∆\E)−ε=µE−ε .1.4.Существование неизмеримого по ЛебегумножестваОказалось, что не все ограниченные множества вRизмеримы по Ле-бегу. В 1905 году Дж. Витали описал множество действительных чисел,не имеющее меру Лебега.Заметим, что сдвиг измеримого множества сохраняет его измери-мость и меру. Действительно, определение измеримости и меры даетсячерез длины промежутков, а они при сдвиге сохраняются.Построение неизмеримых по Лебегу множеств происходит с примене-нием аксиомы свободного выбора2, определение которой в Математиче-ской энциклопедии [2] дается следующим образом: «Для всякого семей-стваXнепустых множеств существует функцияf, которая каждомумножеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества.Функцияfназывается функцией выбора для заданного семейства».Множество Витали строится следующим образом [4]. Рассмотрим от-резок[0; 1]. Разобьем все точки отрезка[0; 1]на классы (классы эквива-лентности), относя в один класс точки с рациональной разностью:x∼y,еслиx−y– рациональное число. Из каждого класса выберем по одномупредставителю, воспользовавшись аксиомой свободного выбора. Множе-2Впервые была опубликована Эрнстом Цермело в 1904 году. Долгое время вызывала ивызывает неприятие и споры у математиков.22

Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Интеграл Лебега и пространства Лебега (автор Марина Лапшина)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!