Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными

— 34 — оказывается настолько малой,1 что на результат не окажет за­метного влияния, если (12) и (26) заменить соотношениями: u<z^ ± j t ^ t B , •* (27) щХ***Щ~1*'~Ч, (28) и процесс вычисления сводится к весьма простому. В самом деле, (27) и (28) позволяют определить значение и в центре лю­бого квадрата посредством ее значений в вершинах или в сере­динах сторон. Полуценные по формулам (27) и (28) численные значения м написаны вправо от внутренних точек сетки, влево от тех же точек фиксированы соответствующие точные значения «. Замечательно при этом то, что мы избегаем решения си­стемы уравнений со многими неизвестными. Так, например, при подразделении основного квадрата (фиг. 4) на 256 квадратиков, число уравнений, необходимых для определения значений и в внутренних точках сетки, было бы 225 со столькими же не­известными-§ 7. Случай полярных координат. Методу будем развивать на примере решения уравнения Пуассона: 9 д%и ди д%и • , Л. Рассмотрим внутри у переменную точку с полярными коорди­натами (г, $). Пусть граничные значения и на контуре будут представлять собою некоторую известную функцию С помощью формулы Тайлора и простых преобразований получим (фиг. 2): щ - н щ = 2«, -+- ДО щ-*- Щр + Ц*, 1 В о о б щ е , 11$ зависит от частных производных м четного порядка, мало у к л о н я ю щ и х с я от нуля.