Высшая математика

Содержание книги "Высшая математика"

Предисловие
Условные обозначения
I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1.1. Определение действительного числа
1.2. Ограниченные множества действительных чисел
1.3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
1.4. Функции
2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2.1. Определение предела последовательности и предела функции
2.2. Бесконечно малые последовательности и функции и их свойства
2.3. Связь существования предела с бесконечно малыми. Основные теоремы о пределах
2.4. Некоторые теоремы о пределах последовательностей и функций
2.5. Некоторые замечательные пределы
2.6. Сравнение бесконечно малых
3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
3.1. Непрерывность функции в точке
3.2. Классификация точек разрыва
3.3. Непрерывность функции на множестве
3.4. Равномерная непрерывность функции
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4. ПРОИЗВОДНАЯ
4.1. Определение, физический и геометрический смысл производной
4.2. Вычисление производной функции
4.3. Дифференцируемые функции. Дифференциал
4.4. Производные и дифференциалы высших порядков
4.5. Функции, заданные параметрически, и их производные
5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
5.1. Теоремы о среднем
5.2. Правило Лопиталя
5.3. Формула Тейлора
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
6.1. Возрастание и убывание функций
6.2. Экстремумы функции
6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке
6.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
6.5. Асимптоты графика функции
6.6. Примерная схема общего исследования функции и построения ее графика
7. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
7.1. Определение векторной функции скалярного аргумента
7.2. Предел векторной функции скалярного аргумента
7.3. Непрерывность векторной функции скалярного аргумента
7.4. Производная векторной функции скалярного аргумента
III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.1. Комплексные числа
8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
8.3. Показательная форма комплексного числа
8.4. Многочлены
8.5. Рациональные функции
9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
9.1. Понятие неопределенного интеграла
9.2. Свойства неопределенного интеграла
9.3. Таблица основных интегралов
9.4. Замена переменной в неопределенном интеграле
9.5. Интегрирование по частям
9.6. Интегрирование рациональных дробей
9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
9.8. Интегрирование тригонометрических функций
9.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений при помощи тригонометрических подстановок
10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.1. Понятие определенного интеграла
10.2. Свойства определенного интеграла
10.3. Существование определенного интеграла
10.4. Вычисление определенного интеграла
10.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
10.6. Вычисление площадей плоских фигур
10.7. Длина дуги плоской кривой
10.8. Вычисление объемов тел
11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
11.1. Определение несобственного интеграла
11.2. Геометрический смысл, свойства и вычисление несобственных интегралов
11.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
11.4. Несобственные интегралы от функций произвольного знака
11.5. Главное значение несобственного интеграла
IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12.1. Многомерные пространства
12.2. Определение, предел и непрерывность функции нескольких переменных
12.3. Частные производные. Дифференциал функции
12.4. Производные сложной функции
12.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
12.6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
12.7. Экстремумы функции нескольких переменных
12.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
12.9. Производная по направлению. Градиент
13. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
13.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
13.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
13.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
13.4. Гамма-функция
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
14.1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям
14.2. Дифференциальные уравнения произвольного и первого порядков
14.3. Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений
14.4. Дифференциальные уравнения высших порядков
14.5. Уравнения, допускающие понижение порядка
15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
15.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
15.2. Линейная зависимость и независимость функций
15.3. Структура общего решения линейного однородного уравнения
15.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
15.5. Неоднородные линейные уравнения высших порядков
15.6. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
15.7. Метод вариации произвольных постоянных
VI. РЯДЫ
16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
16.1. Свойства сходящихся рядов
16.2. Ряды с неотрицательными членами
16.3. Ряды с членами произвольного знака
17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
17.1. Область сходимости функционального ряда
17.2. Равномерная сходимость функционального ряда
17.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
17.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда
17.5. Равномерная сходимость степенного ряда
17.6. Разложение функций в степенные ряды
17.7. Применение разложений в степенные ряды для решения дифференциальных уравнений
18. РЯДЫ ФУРЬЕ
18.1. Ортогональные и ортонормированные системы функций
18.2. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2п
18.3. Тригонометрический ряд Фурье для функции с произвольным периодом 2/. Ряд Фурье в комплексной форме
18.4. Средняя квадратичная погрешность. Минимальное свойство коэффициентов Фурье
18.5. Интеграл Фурье
VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
19. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
19.1. Определение и свойства двойного интеграла
19.2. Вычисление двойного интеграла
19.3. Определение и свойства тройного интеграла
19.4. Вычисление тройного интеграла
19.5. Замена переменных в двойном интеграле
19.6. Двойной интеграл в полярных координатах
19.7. Замена переменных в тройном интеграле
20. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
20.1. Криволинейный интеграл первого рода
20.2. Криволинейный интеграл второго рода
20.3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути интегрирования
21. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
21.1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
21.2. Векторное поле. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля вдоль кривой
21.3. Поверхностный интеграл первого и второго рода
21.4. Формула Гаусса-Остроградского
21.5. Формулы Грина и Стокса
21.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка
21.7. Специальные векторные поля
VIII. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
22. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
22.1. Определение и некоторые элементарные функции комплексного переменного
22.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
22.3. Производная функции комплексного переменного
22.4. Интеграл от функции комплексного переменного
22.5. Интегральная теорема Коши
22.6. Интегральная формула Коши
22.7. Краткие сведения о рядах с комплексными членами
22.8. Ряд Тейлора
22.9. Ряд Лорана
22.10. Классификация изолированных особых точек
22.11. Вычеты и их нахождение
22.12. Основная теорема о вычетах
22.13. Вычисление некоторых интегралов от функций действительного переменного
23. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
23.1. Оригинал и его изображение
23.2. Свойства преобразования Лапласа
23.3. Нахождение оригиналов по изображениям
23.4. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом
23.5. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений различных функций